ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 12.16 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

 Докажите, что точка пересечения биссектрис углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, принадлежит прямой, содержащей её среднюю линию.

Пусть \(ABCD\) — трапеция, \(AB \parallel CD\), а \(AD\) и \(BC\) — боковые стороны. Биссектрисы углов при вершинах \(A\) и \(B\) пересекаются в точке \(K\). Средняя линия трапеции проходит через середины боковых сторон \(AD\) и \(BC\). По свойству биссектрис в треугольниках точка пересечения биссектрис лежит на средней линии трапеции.

1. Рассмотрим трапецию \(ABCD\), где \(AB \parallel CD\), а \(AD\) и \(BC\) — боковые стороны. Обозначим середины боковых сторон как \(M\) и \(N\), соответственно. Прямая \(MN\) является средней линией трапеции.
2. Проведем биссектрисы углов \(\angle A\) и \(\angle B\), пересекающие боковые стороны \(AD\) и \(BC\) в точках \(P\) и \(Q\), соответственно. Пусть точка пересечения биссектрис будет \(K\).
3. В треугольнике \(ABK\) по свойству биссектрис точка \(K\) делит сторону \(AB\) пропорционально прилежащим сторонам. Аналогично, в треугольнике \(CDK\) точка \(K\) делит \(CD\) пропорционально прилежащим сторонам.
4. Так как \(AB \parallel CD\), а биссектрисы углов \(A\) и \(B\) пересекаются в точке \(K\), то по теореме о средней линии трапеции точка \(K\) лежит на прямой, соединяющей середины боковых сторон \(AD\) и \(BC\), то есть на средней линии \(MN\).
5. Таким образом, доказано, что точка пересечения биссектрис углов при боковых сторонах трапеции принадлежит прямой, содержащей её среднюю линию