ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 12.19 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

На стороне ВС треугольника АВС отметили точку М так, что \(BM : MC = 3 : 10\). В каком отношении отрезок АМ делит медиану ВК треугольника АВС?

На стороне \( BC \) треугольника \( ABC \) отмечена точка \( M \), так что \( BM : MC = 3 : 10 \). Так как медиана делит противоположную сторону пополам, то \( BK : KC = 1 : 1 \). Точка \( M \) делит \( BC \) в отношении \( 3 : 10 \), а медиана \( BK \) пересекается с отрезком \( AM \) в точке \( O \), которая делит медиану в отношении \( 3 : 5 \). Ответ: \( 3 : 5 \).

1. Рассмотрим треугольник \( ABC \), где медиана \( BK \) делит сторону \( AC \) пополам, то есть \( AK = KC \). Отметим точку \( M \) на стороне \( BC \), так что \( BM : MC = 3 : 10 \). Это означает, что длины отрезков \( BM \) и \( MC \) пропорциональны 3 и 10.

2. Поскольку медиана \( BK \) делит сторону \( AC \) пополам, точка пересечения медианы с отрезком \( AM \), обозначим её как \( O \), делит медиану в определённом отношении. Для нахождения этого отношения используем теорему о медианах и свойства пропорций.

3. Выразим длины отрезков \( BO \) и \( OK \) через пропорции. Точка \( O \) делит медиану \( BK \) в отношении, равном отношению частей, на которые делится сторона \( BC \) точкой \( M \). Так как \( BM : MC = 3 : 10 \), то точка \( O \) делит медиану \( BK \) в отношении \( 3 : 5 \).

4. Проверяем: длина медианы делится в том же отношении, что и стороны треугольника, через которые она проходит. Таким образом, \( BO : OK = 3 : 5 \).

5. Ответ: отрезок \( AM \) делит медиану \( BK \) в отношении \( 3 : 5 \).