ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 12.25 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

На сторонах угла А отметили точки \(B_1, B_2, C_1\) и \(C_2\) так, что \(AB | AC_1\) (рис. 12.11). Докажите, что \(B_1C_1 | B_2C_2\).

\(\frac{AB_1}{B_1B_2} = \frac{AC_1}{C_1C_2}\).

По теореме о пропорциональных отрезках, если отрезки на двух сторонах угла делятся в одном и том же отношении, то соединяющие их точки отрезки параллельны. Следовательно, \(B_1C_1 \parallel B_2C_2\).

1. Рассмотрим треугольник \(AB_1C_1\) и треугольник \(AB_2C_2\). По условию задачи, точки \(B_1, B_2\) лежат на стороне \(AB\), а точки \(C_1, C_2\) лежат на стороне \(AC\), причем отрезки делятся в одинаковом отношении:
\(\frac{AB_1}{B_1B_2} = \frac{AC_1}{C_1C_2}\).

2. Согласно теореме о пропорциональных отрезках, если отрезки на двух сторонах угла делятся в одинаковом отношении, то прямые, соединяющие соответствующие точки деления, будут параллельны. Это связано с тем, что такие отрезки образуют пропорциональные треугольники.

3. Соединяем точки \(B_1\) и \(C_1\), а также точки \(B_2\) и \(C_2\). Нам нужно доказать, что отрезки \(B_1C_1\) и \(B_2C_2\) параллельны.

4. Используем теорему Фалеса, которая утверждает, что если на двух сторонах угла отложены отрезки, делящие стороны в одинаковом отношении, то линии, соединяющие эти точки, будут параллельны. В данном случае, отношение деления сторон угла \(AB\) и \(AC\) совпадает:
\(\frac{AB_1}{B_1B_2} = \frac{AC_1}{C_1C_2}\).

5. Следовательно, по теореме Фалеса, отрезки \(B_1C_1\) и \(B_2C_2\) параллельны, то есть:
\(B_1C_1 \parallel B_2C_2\).