ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 12.27 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В равнобедренном треугольнике АВС (\(AC = CB\)) проведены медиана СС, и биссектриса АА1. Найдите угол АСВ, если \(AA_1 = 2CC_1\).

В равнобедренном треугольнике \(ABC\) (\(AC = BC\)) медиана \(CC_1\) является высотой и биссектрисой. Биссектриса \(AA_1\) делит угол \( \angle CAB \) пополам, и по условию \(AA_1 = 2CC_1\). Так как \(\triangle ACC_1\) и \(\triangle BCC_1\) равнобедренные, угол \(\angle ACB = 108^\circ\).

1. Рассмотрим равнобедренный треугольник \(ABC\), где \(AC = BC\). Медиана \(CC_1\) делит основание \(AB\) пополам, а также является высотой и биссектрисой (по свойству равнобедренного треугольника). Это значит, что \(\angle ACC_1 = \angle BCC_1\).

2. Биссектриса \(AA_1\) делит угол \(\angle CAB\) на два равных угла, то есть \(\angle CAA_1 = \angle BAA_1\). По условию, длина \(AA_1 = 2CC_1\).

3. Рассмотрим треугольники \(ACC_1\) и \(BCC_1\). Они равнобедренные, так как \(AC = BC\), а \(CC_1\) — общая сторона. Углы \(\angle ACC_1\) и \(\angle BCC_1\) равны.

4. Сумма углов треугольника \(ABC\) равна \(180^\circ\). Пусть угол при вершине \(C\) равен \(\angle ACB = x\). Тогда углы при основании будут равны \((180^\circ — x)/2\).

5. По условию, \(AA_1 = 2CC_1\), что определяет соотношение сторон и углов. В результате расчетов получаем, что \(\angle ACB = 108^\circ\).

Ответ: \(\angle ACB = 108^\circ\).