ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 12.30 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В остроугольном треугольнике АВС отрезки \(CC_1\) и \(AA_1\) высоты. Из точек А и С на прямую \(A_1C_1\) опущены перпендикуляры AF и СК. Докажите, что \(FC_1 = KA_1\)

1. Рассмотрим, что \( l \) — середина отрезка \( ed \), а \( e \) и \( d \) — точки пересечения высот.
2. Опущены перпендикуляры \( AF \) и \( CK \) из точек \( A \) и \( C \) на прямую \( AC_1 \).
3. Точки \( F \) и \( K \) лежат на одной прямой, так как \( FO = OK \) (по свойству серединного перпендикуляра).
4. Следовательно, \( FC_1 = KA \), что и требовалось доказать.

Рассмотрим треугольник ABC, где CC₁ и AA₁ — высоты, пересекающиеся в точке O. Точка I — середина отрезка ed.

1. В треугольнике ABC высоты CC₁ и AA₁ пересекаются в точке O, которая является ортоцентром треугольника. Отрезок ed соединяет основания высот, а I — его середина.

2. Проведем перпендикуляры AF и CK из точек A и C на прямую AC₁. Точки F и K — точки пересечения этих перпендикуляров с прямой AC₁.

3. По свойству серединного перпендикуляра, отрезки FO и OK равны, так как точка O — ортоцентр треугольника, а I — середина отрезка ed. Это свойство обеспечивает равенство FO = OK.

4. Рассмотрим треугольники OFC₁ и OKA. В них:
— FO = OK (по свойству серединного перпендикуляра),
— угол OFC₁ равен углу OKA (оба прямые, так как AF и CK — перпендикуляры),
— сторона OC₁ равна стороне OA (по свойству высот треугольника).

Следовательно, треугольники OFC₁ и OKA равны по двум сторонам и углу между ними.

5. Из равенства треугольников OFC₁ и OKA следует, что FC₁ = KA. Это завершает доказательство.