ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 12.4 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Прямая, параллельная стороне ВС треугольника АВС, пересекает его сторону АВ в точке М, а сторону АС в точке К. Известно, что \(AM = 9 см, BM = 6 см, KC = 8 см\). Найдите отрезок АК.

Прямая, параллельная стороне \( BC \), делит стороны \( AB \) и \( AC \) пропорционально.
\(\frac{AM}{MB} = \frac{AK}{KC}\).
Подставляем данные:
\(\frac{9}{6} = \frac{AK}{8}\).
\(\frac{3}{2} = \frac{AK}{8}\).
\(AK = \frac{3}{2} \cdot 8 = 12 \, \text{см}\).
Ответ: \(AK = 12 \, \text{см}\).

1. Рассмотрим треугольник \(ABC\), в котором прямая, параллельная стороне \(BC\), пересекает сторону \(AB\) в точке \(M\) и сторону \(AC\) в точке \(K\). Согласно теореме о пропорциональных отрезках, если прямая параллельна одной из сторон треугольника, то она делит две другие стороны в одинаковом отношении. Это значит, что выполняется равенство:
\(\frac{AM}{MB} = \frac{AK}{KC}\).

2. Запишем известные данные задачи:
\(AM = 9 \, \text{см}\), \(MB = 6 \, \text{см}\), \(KC = 8 \, \text{см}\).
Необходимо найти длину отрезка \(AK\). Подставляем известные значения в пропорцию:
\(\frac{AM}{MB} = \frac{AK}{KC}\),
\(\frac{9}{6} = \frac{AK}{8}\).

3. Упростим дробь \(\frac{9}{6}\). Для этого числитель и знаменатель делим на их наибольший общий делитель, который равен \(3\):
\(\frac{9}{6} = \frac{3}{2}\).
Теперь уравнение принимает вид:
\(\frac{3}{2} = \frac{AK}{8}\).

4. Решим получившуюся пропорцию. Для этого выразим \(AK\):
\(AK = \frac{3}{2} \cdot 8\).
Умножим:
\(\frac{3}{2} \cdot 8 = \frac{3 \cdot 8}{2} = \frac{24}{2} = 12 \, \text{см}\).

5. Проверим правильность решения. Вычислим отношение \(\frac{AM}{MB}\):
\(\frac{AM}{MB} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}\).
Затем вычислим отношение \(\frac{AK}{KC}\):
\(\frac{AK}{KC} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}\).
Оба отношения равны, следовательно, решение верное.
Ответ: \(AK = 12 \, \text{см}\).