ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 12.5 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что средняя линия треугольника АВС, параллельная стороне АС, делит пополам любой отрезок, соединяющий вершину В с произвольной точкой стороны АС.

Средняя линия \( MN \) треугольника \( ABC \) параллельна стороне \( AC \) и равна её половине. Рассмотрим произвольную точку \( K \) на стороне \( AC \). Пусть \( BK \) — отрезок, соединяющий вершину \( B \) с точкой \( K \). Средняя линия \( MN \) делит \( BK \) на два равных отрезка (\( BO = OK \)), так как \( MN \) параллельна \( AC \), а точка \( O \) — середина \( BK \) (по свойству средней линии).

Рассмотрим треугольник \( ABC \), где \( MN \) — средняя линия, параллельная стороне \( AC \). Докажем, что \( MN \) делит пополам любой отрезок, соединяющий вершину \( B \) с произвольной точкой \( K \) на стороне \( AC \).

По определению средней линии \( MN \) параллельна основанию \( AC \) и равна его половине: \( MN = \frac{1}{2}AC \). Это свойство средней линии треугольника.
Пусть \( K \) — произвольная точка на стороне \( AC \). Соединим вершину \( B \) с точкой \( K \), получив отрезок \( BK \). Средняя линия \( MN \) пересекает \( BK \) в точке \( O \). Требуется доказать, что \( BO = OK \).
Рассмотрим треугольники \( \triangle BMO \) и \( \triangle NOK \). Докажем, что они подобны:
а) Углы \( \angle BMO \) и \( \angle NOK \) равны, так как \( MN \parallel AC \), а \( BK \) — секущая. Это следует из свойства параллельных прямых и секущей.
б) Углы \( \angle MOB \) и \( \angle OKN \) равны по той же причине (\( MN \parallel AC \)).
в) Таким образом, треугольники \( \triangle BMO \) и \( \triangle NOK \) подобны по двум углам.
Из подобия треугольников следует, что отношение соответствующих сторон равно. Запишем это отношение:
\(
\frac{BM}{MO} = \frac{NO}{OK}.
\)
Поскольку \( MN \) — средняя линия, она делит сторону \( BC \) пополам, то есть \( BM = MC \). Также \( MN = \frac{1}{2}AC \), следовательно, \( MO = OK \).
Таким образом, \( BO = OK \). Это и требовалось доказать. Средняя линия \( MN \) делит отрезок \( BK \), соединяющий вершину \( B \) с произвольной точкой \( K \) на стороне \( AC \), пополам