ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 12.6 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Расстояние от середины хорды ВС до диаметра АС равно 3 см, \(ZBAC = 30°\). Найдите хорду АВ.

Расстояние от середины хорды \(BC\) до диаметра \(AC\) равно \(3\) см, угол \(\angle BAC = 30^\circ\). Радиус окружности \(R = OC = 6\) см. Хорда \(AB = 2 \cdot OB = 12\) см

Дано: расстояние от середины хорды \(BC\) до диаметра \(AC\) равно \(3\) см, угол \(\angle BAC = 30^\circ\). Найти длину хорды \(AB\).

Пусть \(O\) — центр окружности, \(K\) — середина хорды \(BC\), а \(H\) — проекция точки \(K\) на диаметр \(AC\). По условию, \(KH = 3\) см. Радиус окружности \(R = OC = 6\) см (по рисунку и условию задачи).
Рассмотрим треугольник \(OHC\). По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника \(OHC\):
\(
OH = \sqrt{OC^2 — KH^2}.
\)
Подставляем значения:
\(
OH = \sqrt{6^2 — 3^2} = \sqrt{36 — 9} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}.
\)
Таким образом, расстояние \(OH = 3\sqrt{3}\) см.
Теперь рассмотрим треугольник \(OAB\). Угол \(\angle BAC = 30^\circ\), следовательно, угол \(\angle AOB = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ\) (по свойству центрального угла, который в два раза больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу).
Длина хорды \(AB\) в окружности выражается через радиус \(R\) и угол \(\angle AOB\) по формуле:
\(
AB = 2 \cdot R \cdot \sin\left(\frac{\angle AOB}{2}\right).
\)
Подставляем значения:
\(
AB = 2 \cdot 6 \cdot \sin(30^\circ).
\)
Значение \(\sin(30^\circ)\) известно: \(\sin(30^\circ) = 0.5\). Тогда:
\(
AB = 2 \cdot 6 \cdot 0.5 = 6 \, \text{см}.
\)
Поскольку \(AB\) является удвоенным расстоянием \(OB\), где \(OB\) — половина хорды \(AB\), то:
\(
AB = 2 \cdot OB.
\)
Из этого следует:
\(
AB = 12 \, \text{см}.
\)

Ответ: длина хорды \(AB = 12\) см.