ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 12.7 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Отрезок ВМ высота ромба ABCD, проведённая к стороне AD. Известно, что \(ZA = 45°, AM = 8 см\). Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до стороны AD.

В ромбе диагонали пересекаются под прямым углом и делят друг друга пополам. Высота ВМ равна половине диагонали \(AC\). Учитывая, что \(\angle A = 45^\circ\), диагонали пропорциональны. Расстояние от точки пересечения диагоналей до стороны \(AD\) равно половине высоты \(BM\). Ответ: \(4 \, \text{см}\).

1. Рассмотрим ромб \(ABCD\), в котором проведена высота \(BM\) к стороне \(AD\). Известно, что угол \(\angle A = 45^\circ\), а отрезок \(AM = 8 \, \text{см}\). Требуется найти расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до стороны \(AD\).

2. В ромбе диагонали пересекаются под прямым углом и делят друг друга пополам. Обозначим точку пересечения диагоналей как \(O\). Диагонали \(AC\) и \(BD\) делятся точкой \(O\) пополам, то есть \(AO = OC\) и \(BO = OD\).

3. Угол \(\angle A = 45^\circ\) позволяет утверждать, что треугольник \(\triangle AMB\), образованный стороной \(AB\), высотой \(BM\) и частью диагонали \(AC\), является прямоугольным и равнобедренным. Следовательно, катеты этого треугольника равны, то есть \(BM = AM\).

4. Подставим значение \(AM = 8 \, \text{см}\). Тогда \(BM = 8 \, \text{см}\).

5. Точка пересечения диагоналей делит диагонали пополам. Так как диагональ \(AC\) проходит через вершину \(A\) и точку \(O\), а диагональ \(BD\) проходит через вершину \(B\) и точку \(O\), высота \(BM\) пересекает диагональ \(AC\) в точке \(O\).

6. Расстояние от точки пересечения диагоналей \(O\) до стороны \(AD\) равно половине высоты \(BM\), так как диагонали делят ромб на четыре равных треугольника.

7. Найдем это расстояние:
\(OH = \frac{BM}{2} = \frac{8}{2} = 4 \, \text{см}\).

8. Таким образом, расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до стороны \(AD\) равно \(4 \, \text{см}\).

9. Ответ: \(4 \, \text{см}\).