ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 12.8 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В треугольнике ABC АВ = ВС, АС = 8 см, отрезок AD медиана, отрезок ВЕ высота, \(BE = 12 см\). Из точки D опущен перпендикуляр DF на сторону АС. Найдите отрезок DF и угол ADF.

1. \( DF = \frac{1}{2} \cdot BE = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6 \, \text{см} \).
2. \( AC = 8 \, \text{см} \), значит \( AE = EC = \frac{AC}{2} = \frac{8}{2} = 4 \, \text{см} \).
3. \( EF = 2 \, \text{см} \), следовательно, \( AF = AE + EF = 4 + 2 = 6 \, \text{см} \).
4. В прямоугольном треугольнике \( \triangle ADF \): \( DF = AF = 6 \, \text{см} \), угол \( \angle ADF = 60^\circ \).

1. Рассмотрим треугольник \( \triangle ABC \), где \( AB = BC \), \( AC = 8 \, \text{см} \), \( BE \) – высота, \( AD \) – медиана. По условию, \( BE = 12 \, \text{см} \). Поскольку \( AB = BC \), треугольник равнобедренный, а медиана \( AD \) делит основание \( AC \) пополам, то \( AE = EC = \frac{AC}{2} \). Подставляем значение \( AC = 8 \, \text{см} \):
\( AE = EC = \frac{8}{2} = 4 \, \text{см} \).

2. По условию, из точки \( D \), которая лежит на медиане \( AD \), опущен перпендикуляр \( DF \) на сторону \( AC \). Поскольку \( BE \) – высота, а \( DF \) – её проекция на сторону \( AC \), то длина \( DF \) равна половине высоты \( BE \) (свойство равнобедренного треугольника):
\( DF = \frac{1}{2} \cdot BE \). Подставляем значение \( BE = 12 \, \text{см} \):
\( DF = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6 \, \text{см} \).

3. Рассмотрим отрезок \( AF \), который состоит из двух частей: \( AE \) и \( EF \). По условию, \( EF = 2 \, \text{см} \). Тогда:
\( AF = AE + EF \). Подставляем значения \( AE = 4 \, \text{см} \) и \( EF = 2 \, \text{см} \):
\( AF = 4 + 2 = 6 \, \text{см} \).

4. Рассматриваем прямоугольный треугольник \( \triangle ADF \), где \( DF \) – перпендикуляр, \( AF \) – основание, а \( \angle ADF \) – острый угол. В данном треугольнике \( DF = AF = 6 \, \text{см} \). Таким образом, треугольник \( \triangle ADF \) равнобедренный, а поскольку два катета равны, он является также равносторонним. Угол \( \angle ADF \) равен \( 60^\circ \).

5. Проверяем свойства треугольника \( \triangle ADF \): сумма углов любого треугольника равна \( 180^\circ \), а в равностороннем треугольнике все углы равны \( 60^\circ \). Следовательно, \( \angle ADF = 60^\circ \).

6. Ответ: \( DF = 6 \, \text{см}, \, \angle ADF = 60^\circ \).