ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 12.9 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Сторона АС треугольника АВС равна 24 см. Сторону АВ разделили на четыре равных отрезка и через точки деления провели прямые, параллельные стороне АС. Найдите отрезки этих прямых, принадлежащие треугольнику.

1. Сторону \( AB \) разделили на четыре равных отрезка, то есть каждый отрезок равен \( \frac{1}{4} \) от \( AB \).
2. Проведенные прямые параллельны \( AC \), следовательно, они делят треугольник пропорционально.
3. Отрезки этих прямых внутри треугольника составляют \( \frac{1}{2} \), \( \frac{1}{4} \), и \( \frac{3}{4} \) от \( AC \), то есть \( 12 \, \text{см} \), \( 6 \, \text{см} \), и \( 18 \, \text{см} \) соответственно.

1. Рассмотрим треугольник \( ABC \), где сторона \( AC \) равна \( 24 \, \text{см} \), а \( AB \) разделена на четыре равных отрезка. Это означает, что каждая часть \( AB \) равна \( \frac{AB}{4} \). Пусть \( AB = a \), тогда каждый отрезок равен \( \frac{a}{4} \).

2. Через точки деления стороны \( AB \) проведены прямые, параллельные стороне \( AC \). Согласно теореме Фалеса, эти прямые делят треугольник пропорционально. Это значит, что длины отрезков, образованных на стороне \( AC \), будут пропорциональны расстояниям от вершины \( A \) до точек деления стороны \( AB \).

3. Первая параллельная прямая проходит через точку, которая делит \( AB \) на \( 1:3 \). Соответствующий отрезок на \( AC \) будет равен половине длины \( AC \). Вычислим его длину:
\(
PE = \frac{1}{2} \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 24 = 12 \, \text{см}.
\)

4. Вторая параллельная прямая проходит через точку, которая делит \( AB \) на \( 2:2 \). Соответствующий отрезок на \( AC \) будет равен четверти длины \( AC \). Вычислим его длину:
\(
FG = \frac{1}{4} \cdot AC = \frac{1}{4} \cdot 24 = 6 \, \text{см}.
\)

5. Третья параллельная прямая проходит через точку, которая делит \( AB \) на \( 3:1 \). Соответствующий отрезок на \( AC \) будет равен трём четвертям длины \( AC \). Вычислим его длину:
\(
MN = \frac{3}{4} \cdot AC = \frac{3}{4} \cdot 24 = 18 \, \text{см}.
\)

6. Проверим правильность вычислений. Сумма всех пропорциональных частей должна соответствовать длине \( AC \), если учитывать наложение отрезков. Однако в данной задаче нас интересуют только отдельные отрезки, которые составляют \( PE = 12 \, \text{см} \), \( FG = 6 \, \text{см} \), \( MN = 18 \, \text{см} \).

7. Таким образом, отрезки внутри треугольника, соответствующие параллельным прямым, равны \( 12 \, \text{см} \), \( 6 \, \text{см} \), \( 18 \, \text{см} \).