ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 13.10 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что если две медианы треугольника равны, то этот треугольник равнобедренный.

Дано: медианы \(AD\) и \(CE\) равны, \(AD = CE\).
Докажем: \(\triangle ABC\) равнобедренный.
1. Медианы пересекаются в точке \(O\) и делятся в отношении \(2:1\).
2. \(AO = \frac{2}{3}AD\), \(CO = \frac{2}{3}CE\), так как \(AD = CE\), то \(AO = CO\).
3. В \(\triangle AOC\) \(AO = CO\), значит \(\angle A = \angle C\).
4. Следовательно, \(\triangle ABC\) равнобедренный (\(AB = CB\)).

1. Рассмотрим треугольник \(ABC\), где медианы \(AD\) и \(CE\) равны (\(AD = CE\)).
По определению медианы, \(AD\) и \(CE\) делят противоположные стороны \(BC\) и \(AB\) пополам.
Медианы пересекаются в точке \(O\), которая делит каждую медиану в отношении \(2:1\).

2. Выразим длины отрезков медиан:
\(AO = \frac{2}{3}AD\), \(CO = \frac{2}{3}CE\).
Так как \(AD = CE\), то \(AO = CO\).

3. В треугольнике \(AOC\) выполняется равенство \(AO = CO\).
По свойству равнобедренного треугольника, углы при основании равны:
\(\angle A = \angle C\).

4. В треугольнике \(ABC\) углы \(\angle A\) и \(\angle C\) равны.
Следовательно, стороны \(AB\) и \(CB\) равны (\(AB = CB\)).

5. Таким образом, треугольник \(ABC\) равнобедренный, что и требовалось доказать.