ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 13.11 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В треугольнике ABC (AB = ВС) проведены медиана АМ и высота ВН. Найдите высоту ВН, если \(AM = 45 см, \angle CAM = 30°\).о этот треугольник равнобедренный.

В треугольнике \( \triangle ABC \), где \( AB = BC \), проведены медиана \( AM \) и высота \( BH \).
1. Найдем \( OH \):
\( \angle CAM = 30^\circ \), значит \( \triangle COH \) прямоугольный и \( OH = \frac{1}{2} \cdot CO \).
\( CO = \frac{2}{3} \cdot AM = \frac{2}{3} \cdot 45 = 30 \, \text{см} \).
\( OH = \frac{1}{2} \cdot 30 = 15 \, \text{см} \).
2. Найдем \( BH \):
По теореме Пифагора в \( \triangle BOH \):
\( BH = \sqrt{BO^2 — OH^2} \), где \( BO = \frac{3}{2} \cdot OH = 45 \, \text{см} \).
\( BH = \sqrt{45^2 — 15^2} = \sqrt{2025 — 225} = \sqrt{1800} = 45 \, \text{см} \).

Ответ: \( BH = 45 \, \text{см} \).

1. Рассмотрим треугольник \( \triangle ABC \), где \( AB = BC \), \( AM \) — медиана, \( BH \) — высота, \( \angle CAM = 30^\circ \), \( AM = 45 \, \text{см} \).
По свойству медианы равнобедренного треугольника, она делит противоположную сторону пополам, а её длина выражается через отрезки, на которые она делит основание.

2. Найдем \( CO \):
\( AM \) делит сторону \( BC \) в отношении \( 2:1 \). Тогда \( CO = \frac{2}{3} \cdot AM = \frac{2}{3} \cdot 45 = 30 \, \text{см} \).

3. Найдем \( OH \):
В треугольнике \( \triangle COH \) угол \( \angle CAM = 30^\circ \), что означает, что \( OH = \frac{1}{2} \cdot CO \).
Подставляем: \( OH = \frac{1}{2} \cdot 30 = 15 \, \text{см} \).

4. Найдем \( BO \):
По свойству медианы равнобедренного треугольника, \( BO = \frac{3}{2} \cdot OH \).
Подставляем: \( BO = \frac{3}{2} \cdot 15 = 45 \, \text{см} \).

5. Найдем \( BH \):
По теореме Пифагора в \( \triangle BOH \):
\( BH = \sqrt{BO^2 — OH^2} \).
Подставляем: \( BH = \sqrt{45^2 — 15^2} = \sqrt{2025 — 225} = \sqrt{1800} = 45 \, \text{см} \).

Ответ: \( BH = 45 \, \text{см} \).