ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 13.13 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, равна 42 см, а основание относится к боковой стороне как 6 : 11. Найдите радиус окружности, вписанной в данный треугольник.

1. Высота \(h = 42\) см, основание \(BC = 6x\), боковая сторона \(AB = AC = 11x\).
2. По свойству высоты равнобедренного треугольника, \(BD = DC = 3x\). Тогда \(BC = 6x\), а \(BD = 3x\).
3. Используем формулу для радиуса вписанной окружности: \(r = \frac{S}{p}\), где \(S\) — площадь треугольника, \(p\) — полупериметр.
4. Площадь треугольника: \(S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 6x \cdot 42 = 126x\).
5. Полупериметр: \(p = \frac{BC + AB + AC}{2} = \frac{6x + 11x + 11x}{2} = 14x\).
6. Радиус: \(r = \frac{126x}{14x} = 9\).

Ответ: \(r = 9\) см.

1. Определяем параметры треугольника. Высота \(h = 42\) см делит основание \(BC\) пополам. Пусть основание \(BC = 6x\), боковая сторона \(AB = AC = 11x\). Тогда \(BD = DC = 3x\). Это следует из свойства высоты, проведенной к основанию равнобедренного треугольника.
2. Вычисляем площадь треугольника. Площадь равнобедренного треугольника равна \(S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h\). Подставляем: \(S = \frac{1}{2} \cdot 6x \cdot 42 = 126x\).
3. Находим полупериметр. Полупериметр равен \(p = \frac{BC + AB + AC}{2}\). Подставляем: \(p = \frac{6x + 11x + 11x}{2} = 14x\).
4. Используем формулу радиуса вписанной окружности. Радиус вписанной окружности равен \(r = \frac{S}{p}\). Подставляем: \(r = \frac{126x}{14x}\).
5. Упрощаем выражение для радиуса. Сокращаем \(x\): \(r = 9\).

Ответ: \(r = 9\) см.