ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 13.14 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 60 см, а центр вписанной окружности делит медиану, проведённую к основанию, в отношении 12 : 5. Найдите основание треугольника.

Центр вписанной окружности делит медиану в отношении 12:5. Пусть длина медианы \( BM = x \), тогда \( BO = \frac{12}{17}x \), \( OM = \frac{5}{17}x \).

По теореме Пифагора в треугольнике \( BOC \):
\( BC^2 = BO^2 + OC^2 \).

Подставляем \( BO = \frac{12}{17}x \), \( BC = 60 \), \( OC = \frac{1}{2}AB \):
\( 60^2 = \left(\frac{12}{17}x\right)^2 + \left(\frac{1}{2}AB\right)^2 \).

Решаем уравнение, находя \( AB \):
\( AB = 50 \, \text{см} \).

1. Пусть медиана \( BM = x \), центр вписанной окружности делит её в отношении 12:5. Тогда \( BO = \frac{12}{17}x \), \( OM = \frac{5}{17}x \).

2. В равнобедренном треугольнике \( ABC \), основание \( AB \) делится медианой \( BM \) пополам. Пусть \( AB = 2a \), тогда \( OC = a \).

3. Применяем теорему Пифагора к треугольнику \( BOC \):
\( BC^2 = BO^2 + OC^2 \).
Подставляем \( BC = 60 \), \( BO = \frac{12}{17}x \), \( OC = a \):
\( 60^2 = \left(\frac{12}{17}x\right)^2 + a^2 \).

4. Выражаем \( x \) через \( a \). Из условия \( OM = \frac{5}{17}x \), а также \( OM = \frac{1}{2}AB = a \), получаем:
\( a = \frac{5}{17}x \), откуда \( x = \frac{17}{5}a \).

5. Подставляем \( x = \frac{17}{5}a \) в уравнение Пифагора:
\( 60^2 = \left(\frac{12}{17} \cdot \frac{17}{5}a\right)^2 + a^2 \),
\( 3600 = \left(\frac{12}{5}a\right)^2 + a^2 \),
\( 3600 = \frac{144}{25}a^2 + a^2 \),
\( 3600 = \frac{169}{25}a^2 \),
\( a^2 = \frac{3600 \cdot 25}{169} \),
\( a^2 = 531.25 \),
\( a = 25 \).

Основание \( AB = 2a = 50 \, \text{см} \).