ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 13.15 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В треугольнике АВС медианы, проведённые из вершин А и С, перпендикулярны. Найдите отношение медианы ВМ к стороне АС.

Медиана \(OM\) делит сторону \(AC\) пополам: \(OM = \frac{1}{2} \cdot AC\). Аналогично, медиана \(BM\) делит сторону \(AB\) пополам. Из условия, что медианы \(AM\) и \(CM\) перпендикулярны, следует, что треугольник симметричен. Отношение медианы \(BM\) к стороне \(AC\) равно \(3:2\).

1. Рассмотрим треугольник \(ABC\), в котором медианы \(AM\) и \(CM\) пересекаются под прямым углом. Это условие указывает на то, что треугольник является равнобедренным с основанием \(AC\). Данное утверждение следует из свойства медиан, пересекающихся под прямым углом, которое выполняется только для равнобедренных треугольников.

2. Пусть точка \(M\) является точкой пересечения медиан \(AM\), \(BM\) и \(CM\). Медиана \(AM\) делит сторону \(BC\) на два равных отрезка, то есть \(BM = CM\). Также медиана \(CM\) делит сторону \(AB\) на два равных отрезка. Эти свойства вытекают из определения медиан.

3. Медиана \(OM\), проведённая к стороне \(AC\), делит её пополам, то есть \(OM = \frac{1}{2} \cdot AC\). Это утверждение основывается на определении медианы, которая соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

4. Рассмотрим медиану \(BM\), которая делит сторону \(AC\) в определённой пропорции. В равнобедренном треугольнике медианы обладают свойством, что их длины соотносятся с длинами сторон треугольника. Учитывая, что медианы \(AM\) и \(CM\) перпендикулярны, треугольник \(ABC\) имеет симметрию, и длина медианы \(BM\) составляет \(\frac{3}{5}\) от длины стороны \(AC\).

5. Таким образом, отношение длины медианы \(BM\) к длине стороны \(AC\) равно \(3:2\).