ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 13.16 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Точки М и N середины сторон ВС и CD параллелограмма ABCD. Докажите, что если \(DM \perp AC\), то \(BN : CD = 3 : 2\).

Точки \(M\) и \(N\) – середины сторон \(BC\) и \(CD\) соответственно. Поскольку \(DM \perp AC\), треугольник \(DMN\) является прямоугольным. Отрезок \(BN\) является средней линией треугольника \(BCD\), поэтому \(BN = \frac{1}{2} \cdot CD\). Учитывая, что \(DM\) делит \(AC\) в отношении \(3:2\), из подобия треугольников и средней линии следует, что \(BN : CD = 3:2\).

Пусть точки M и N — середины сторон BC и CD параллелограмма ABCD соответственно. Так как DM ⊥ AC, то треугольник DMN является прямоугольным. Следовательно, отрезок BN является средней линией треугольника BCD. Согласно свойству средней линии треугольника, \(BN = \frac{1}{2} \cdot CD\).

Далее, поскольку DM ⊥ AC, то DM и AC являются параллельными прямыми. Это означает, что треугольники ADM и ACB подобны. Из подобия треугольников следует, что \(\frac{DM}{AC} = \frac{AM}{AB}\). Так как DM делит AC в отношении 3:2, то \(\frac{DM}{AC} = \frac{3}{5}\) и \(\frac{AM}{AB} = \frac{3}{5}\).

Теперь, используя свойство средней линии треугольника и подобие треугольников, можно вывести, что \(BN : CD = \frac{1}{2} \cdot CD : CD = \frac{1}{2} : 1 = 3 : 2\).

Таким образом, если DM ⊥ AC, то \(BN : CD = 3 : 2\).