ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 13.17 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Точка D середина стороны АС треугольника АВС, отрезки DE и DF биссектрисы треугольников ABD и CBD соответственно. Докажите, что \(EF \parallel AC\).

Точка \(D\) — середина стороны \(AC\), значит, \(AD = DC\). Отрезки \(DE\) и \(DF\) — биссектрисы треугольников \(ABD\) и \(CBD\). По свойству биссектрис:

\[
\frac{DB}{BE} = \frac{AD}{DC}, \quad \frac{DB}{BF} = \frac{DC}{AD}.
\]

Так как \(AD = DC\), то \(\frac{DB}{BE} = \frac{DB}{BF}\), следовательно, \(BE = BF\). Это означает, что \(EF \parallel AC\) по признаку равенства углов и пропорций

Точка \(D\) — середина стороны \(AC\), следовательно, по определению середины отрезка, выполняется равенство \(AD = DC\). Это ключевое условие, которое используется в дальнейшем для доказательства.

Рассмотрим треугольник \(ABD\). Отрезок \(DE\) является биссектрисой этого треугольника. Согласно теореме о биссектрисе, выполняется пропорция:

\(
\frac{DB}{BE} = \frac{AD}{DC}.
\)

Так как \(AD = DC\), то:

\(
\frac{DB}{BE} = 1.
\)

Из этого следует, что \(DB = BE\).

Аналогично рассмотрим треугольник \(CBD\). Отрезок \(DF\) является биссектрисой этого треугольника. По теореме о биссектрисе:

\(
\frac{DB}{BF} = \frac{DC}{AD}.
\)

Так как \(AD = DC\), то:

\(
\frac{DB}{BF} = 1.
\)

Из этого следует, что \(DB = BF\).

Из предыдущих шагов мы получили, что \(BE = BF\). Это означает, что точки \(E\) и \(F\) одинаково удалены от точки \(B\) и находятся на прямых \(DE\) и \(DF\), которые являются биссектрисами треугольников \(ABD\) и \(CBD\). Таким образом, отрезок \(EF\) является средней линией для треугольника \(ABC\), соединяющей середины сторон \(AB\) и \(BC\).

По свойству средней линии треугольника, она всегда параллельна основанию и равна половине его длины. Следовательно, \(EF \parallel AC\), что и требовалось доказать.