ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 13.20 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Точки K, L, M и N соответственно середины сторон AB, ВС, CD и DA четырёхугольника ABCD. Прямые AL и СК пересекаются в точке Р, прямые AM и CN пересекаются в точке Q. Докажите, что если четырёхугольник APCQ параллелограмм, то четырёхугольник ABCD также является параллелограммом.
1. Точки \(P\) и \(Q\) — точки пересечения медиан треугольников \(ADC\) и \(ABC\).
2. Если \(APCQ\) — параллелограмм, то его диагонали пересекаются и делятся пополам.
3. Из свойств медиан следует, что \(O\) — середина обеих диагоналей \(AC\) и \(BD\).
4. Раз середины диагоналей совпадают, то диагонали \(AC\) и \(BD\) делятся пополам.
5. Следовательно, \(ABCD\) — параллелограмм.
1. Рассмотрим четырехугольник \(ABCD\) и точки \(K\), \(L\), \(M\), \(N\), которые являются серединами сторон \(AB\), \(BC\), \(CD\), \(DA\) соответственно. Это означает, что отрезки \(AK = KB\), \(BL = LC\), \(CM = MD\), \(DN = NA\). Прямые \(AL\) и \(CK\) пересекаются в точке \(P\), а прямые \(AM\) и \(CN\) пересекаются в точке \(Q\).
2. Известно, что если четырехугольник \(APCQ\) является параллелограммом, то его диагонали \(AC\) и \(PQ\) пересекаются в точке \(O\) и делятся пополам. Это свойство диагоналей параллелограмма.
3. Рассмотрим треугольник \(ADC\). Точка \(P\) является точкой пересечения медиан этого треугольника, так как \(AL\) и \(CK\) — медианы. По свойству медиан, точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении \(2:1\), считая от вершины. Аналогично, в треугольнике \(ABC\) точка \(Q\) является точкой пересечения медиан \(AM\) и \(CN\), и делит их в том же отношении \(2:1\).
4. Если \(APCQ\) — параллелограмм, то его диагонали пересекаются в точке \(O\) и делятся пополам. Это означает, что точка \(O\) является серединой отрезков \(AC\) и \(PQ\). Так как \(P\) и \(Q\) — точки пересечения медиан треугольников \(ADC\) и \(ABC\), то точка \(O\) также является серединой диагоналей \(AC\) и \(BD\).
5. Рассмотрим диагонали \(AC\) и \(BD\) четырехугольника \(ABCD\). Если их середины совпадают, то диагонали делятся пополам. Это возможно только в том случае, если \(ABCD\) является параллелограммом, так как обратная теорема о диагоналях параллелограмма утверждает, что если диагонали делятся пополам, то четырехугольник является параллелограммом.
6. Таким образом, если \(APCQ\) является параллелограммом, то диагонали \(AC\) и \(BD\) четырехугольника \(ABCD\) делятся пополам в точке \(O\), что доказывает, что \(ABCD\) также является параллелограммом.
