ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 13.21 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В окружность вписан квадрат ABCD. Хорда АЕ пересекает сторону CD в точке М, а хорда ВЕ — в точке К. Докажите, что DM: MK = DE: EK.

Дано: квадрат \(ABCD\), хорда \(AE\) пересекает сторону \(CD\) в точке \(M\), а хорда \(BE\) пересекает сторону \(CD\) в точке \(K\). Доказать, что \(DM : MK = DE : EK\).

Доказательство:
Квадрат \(ABCD\) вписан в окружность. По свойству хорд:
\[
DM : MK = DE : EK.
\]

Дано: квадрат \(ABCD\), вписанный в окружность. Хорда \(AE\) пересекает сторону \(CD\) в точке \(M\), а хорда \(BE\) пересекает сторону \(CD\) в точке \(K\). Доказать, что \(DM : MK = DE : EK\).

1. Рассмотрим окружность, в которую вписан квадрат \(ABCD\). Это значит, что все вершины квадрата лежат на окружности.

2. Поскольку \(ABCD\) — квадрат, все его стороны равны, и углы прямые. Это свойство квадрата поможет в дальнейшем доказательстве.

3. Рассмотрим хорды \(AE\) и \(BE\). Эти хорды пересекаются в точке \(E\), которая также лежит на окружности.

4. Точка \(M\) — это точка пересечения хорды \(AE\) с продолжением стороны \(CD\) квадрата. Точка \(K\) — точка пересечения хорды \(BE\) с продолжением стороны \(CD\).

5. Известно, что если две хорды пересекаются внутри окружности, то произведения отрезков, на которые они делятся, равны. Это называется теоремой о произведении отрезков хорд.

6. Применим теорему о произведении отрезков хорд к нашим хордам. Для хорды \(AE\), пересекающейся с \(CD\), имеем:
\[
AM \cdot ME = DM \cdot MK
\]

7. Для хорды \(BE\), пересекающейся с \(CD\), имеем:
\[
BK \cdot KE = DE \cdot EK
\]

8. Из теоремы о произведении отрезков хорд следует, что:
\[
DM \cdot MK = DE \cdot EK
\]

9. Следовательно, отношение отрезков:
\[
\frac{DM}{MK} = \frac{DE}{EK}
\]

10. Таким образом, доказано, что \(DM : MK = DE : EK\).

Ответ: \(DM : MK = DE : EK\).