ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 13.22 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В окружность вписан равносторонний треугольник АВС. Хорда АР пересекает медиану ВD в точке К так, что ВК: KD = 1: 6.Найдите отношение ВР: РС.

Дано: \( BK : KD = 1 : 6 \).

Медиана делит сторону \( BC \) в отношении \( 1 : 1 \), то есть \( BF : FC = 1 : 1 \).

Так как \( BK : KD = 1 : 6 \), то \( BP : PC = 1 : 12 \).

Ответ: \( BP : PC = 1 : 12 \).

Дано: равносторонний треугольник \( ABC \) вписан в окружность. Хорда \( AP \) пересекает медиану \( BD \) в точке \( K \), причём \( BK : KD = 1 : 6 \). Требуется найти отношение \( BP : PC \).

1. Рассмотрим медиану \( BD \) равностороннего треугольника. Медиана в равностороннем треугольнике делит противоположную сторону \( BC \) пополам, то есть \( BF = FC \). Таким образом, \( BF : FC = 1 : 1 \).

2. По условию задачи известно, что точка \( K \) делит медиану \( BD \) в отношении \( BK : KD = 1 : 6 \). Это значит, что длина отрезка \( BK \) составляет одну часть, а длина отрезка \( KD \) составляет шесть таких же частей. Общая длина медианы \( BD \) равна \( BK + KD = 1 + 6 = 7 \) частей.

3. Теперь обратим внимание на хорду \( AP \), которая пересекает медиану \( BD \) в точке \( K \). Точка пересечения делит хорду \( AP \) на два отрезка: \( BP \) и \( PC \). Эти отрезки пропорциональны отрезкам медианы, на которые делится \( BD \). То есть:
\[
BP : PC = BK : KD.
\]

4. Подставляем известное соотношение \( BK : KD = 1 : 6 \):
\[
BP : PC = 1 : 6.
\]

5. Однако, необходимо учесть, что медиана делит сторону \( BC \) пополам, а \( BP \) и \( PC \) зависят от соотношения деления \( BC \) и медианы. Так как \( BF : FC = 1 : 1 \), то соотношение между отрезками хорды \( AP \) удваивается. Следовательно:
\[
BP : PC = 1 : 6 \times 2 = 1 : 12.
\]

Ответ: \( BP : PC = 1 : 12 \).