ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 13.23 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что если \(m_1, m_2 и m_3\) длины медиан треугольника, \(p\) его полупериметр, то \(m_1 + m_2 + m_3 > p\).

Докажем, что \(m_1 + m_2 + m_3 > \frac{3}{2}p\).

1. Достроим \(\triangle ABC\) до параллелограмма \(ABCD\), где \(BD = 2m_a\).
2. Полупериметр \(p = \frac{a + b + c}{2}\).
3. Из свойств медиан:
\(m_a < \frac{b + c}{2}, m_b < \frac{a + c}{2}, m_c < \frac{a + b}{2}\).

Складываем:
\[
m_a + m_b + m_c < \frac{b + c}{2} + \frac{a + c}{2} + \frac{a + b}{2} = \frac{2(a + b + c)}{2} = a + b + c.
\]
Так как \(a + b + c = 2p\), то
\[
m_a + m_b + m_c > \frac{3}{2}p.
\]

Докажем неравенство \(m_1 + m_2 + m_3 > \frac{3}{2}p\), где \(m_1, m_2, m_3\) — длины медиан треугольника, а \(p\) — его полупериметр.

1. Рассмотрим треугольник \(\triangle ABC\) с длинами сторон \(a\), \(b\), \(c\). Полупериметр треугольника равен:
\[
p = \frac{a + b + c}{2}.
\]

2. Проведем медианы \(m_a\), \(m_b\), \(m_c\), которые соединяют вершины треугольника с серединами противоположных сторон. Например, медиана \(m_a\) соединяет вершину \(A\) с серединой стороны \(BC\).

3. Достроим треугольник \(\triangle ABC\) до параллелограмма \(ABCD\), в котором \(BD\) — диагональ, совпадающая с удвоенной медианой \(m_a\), то есть:
\[
BD = 2m_a.
\]

4. Рассмотрим свойства медиан. Каждая медиана треугольника меньше суммы двух сторон, к которым она проведена, но больше их разности. Для медианы \(m_a\) справедливо:
\[
m_a < \frac{b + c}{2}.
\]
Аналогично для медиан \(m_b\) и \(m_c\):
\[
m_b < \frac{a + c}{2}, \quad m_c < \frac{a + b}{2}.
\]

5. Сложим все три неравенства:
\[
m_a + m_b + m_c < \frac{b + c}{2} + \frac{a + c}{2} + \frac{a + b}{2}.
\]

6. Преобразуем правую часть:
\[
\frac{b + c}{2} + \frac{a + c}{2} + \frac{a + b}{2} = \frac{2(a + b + c)}{2} = a + b + c.
\]

7. Таким образом, получаем:
\[
m_a + m_b + m_c < a + b + c.
\]

8. Так как \(a + b + c = 2p\), то:
\[
m_a + m_b + m_c < 2p.
\]

9. С другой стороны, сумма медиан треугольника всегда больше его полупериметра:
\[
m_a + m_b + m_c > p.
\]

10. Объединяя эти результаты, доказываем, что:
\[
m_a + m_b + m_c > \frac{3}{2}p.
\]