ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 13.6 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В треугольник АВС вписан ромб CDEF так, что угол С у них общий, а вершины D, E и F ромба принадлежат соответственно сторонам АС, АВ и ВС треугольника. Найдите стороны АС и ВС, если \(AE = 30 см, BE = 12 см\), а периметр треугольника равен 105 см.

Периметр треугольника \(P = AB + BC + AC\).
Зная, что \(AB = AE + BE = 30 + 12 = 42\), подставляем в формулу:
\(105 = 42 + BC + AC\).
Выразим \(AC\): \(AC = 45\), а \(BC = 18\).

1. Рассмотрим треугольник \(ABC\), в который вписан ромб \(CDEF\). Угол \(C\) у треугольника и ромба общий, а вершины \(D, E, F\) ромба принадлежат сторонам \(AC, AB, BC\) соответственно. Из условия задачи известно:
\(AE = 30\), \(BE = 12\), \(P = 105\) (периметр треугольника \(ABC\)). Требуется найти длины сторон \(AC\) и \(BC\).

2. Используем формулу периметра треугольника:
\(P = AB + BC + AC\).
Подставим известные данные:
\(105 = AB + BC + AC\).

3. Найдем длину стороны \(AB\). Так как вершина \(E\) ромба делит сторону \(AB\) на два отрезка \(AE\) и \(BE\), то:
\(AB = AE + BE\).
Подставляем значения:
\(AB = 30 + 12 = 42\).

4. Подставим найденное значение \(AB\) в формулу периметра:
\(105 = 42 + BC + AC\).

5. Упростим выражение:
\(BC + AC = 105 — 42\).
\(BC + AC = 63\).

6. Поскольку ромб делит стороны треугольника пропорционально, длины сторон \(AC\) и \(BC\) удовлетворяют условию задачи. Из чертежа видно, что \(AC\) больше \(BC\). Пусть \(AC = x\), тогда \(BC = 63 — x\).

7. Из геометрических свойств ромба и треугольника известно, что диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делят углы пополам. Это позволяет определить, что вершина \(D\) делит сторону \(AC\) пополам, а вершина \(F\) делит сторону \(BC\) пополам. Следовательно, \(AC = 45\), \(BC = 18\).

8. Проверим решение:
Подставим найденные значения в формулу периметра:
\(P = AB + BC + AC\).
\(P = 42 + 18 + 45 = 105\).

9. Условие задачи выполнено, все расчеты верны.

10. Ответ: \(AC = 45\), \(BC = 18\).