ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 13.8 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Точки М и К середины сторон AB и AD параллелограмма ABCD соответственно. Докажите, что точка пересечения прямых ВК и DM принадлежит диагонали АС

Пусть \( M \) и \( K \) — середины сторон \( AB \) и \( AD \) соответственно. Тогда отрезки \( BK \) и \( DM \) являются медианами треугольников \( ABD \) и \( ABC \). Из свойства медиан следует, что точка пересечения медиан делит их в отношении \( 2:1 \). Диагональ \( AC \) проходит через эту точку, так как она соединяет противоположные вершины параллелограмма и пересекает медианы.

1. Рассмотрим параллелограмм \( ABCD \). Точки \( M \) и \( K \) — середины сторон \( AB \) и \( AD \) соответственно. Это означает, что \( AM = MB \) и \( AK = KD \).
2. Проведем прямые \( BK \) и \( DM \). Эти прямые являются медианами треугольников \( ABD \) и \( ABC \). Из свойства медиан известно, что они пересекаются в одной точке, деля друг друга в отношении \( 2:1 \).
3. Диагональ \( AC \) соединяет противоположные вершины параллелограмма. По свойству диагоналей параллелограмма, они пересекаются и делятся пополам.
4. Точка пересечения прямых \( BK \) и \( DM \), находясь на медианах треугольников, совпадает с точкой пересечения диагоналей, так как медианы и диагонали в данном случае пересекаются в одной точке.
5. Следовательно, точка пересечения прямых \( BK \) и \( DM \) принадлежит диагонали \( AC \).