ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 13.9 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Точки М и N середины сторон ВС и CD параллелограмма ABCD соответственно. Докажите, что отрезки AM и AN делят диагональ BD на три равные части.

Точки \( M \) и \( N \) — середины сторон \( BC \) и \( CD \). Следовательно, отрезки \( AM \) и \( AN \) соединяют вершину \( A \) с серединами противоположных сторон параллелограмма. По свойству медиан треугольника, они делят диагональ \( BD \) на три равные части.

1. Пусть \( ABCD \) — параллелограмм, а \( M \) и \( N \) — середины сторон \( BC \) и \( CD \).
По определению середины, \( BM = MC \) и \( CN = ND \).

2. Рассмотрим треугольник \( ABD \). Отрезок \( AM \) соединяет вершину \( A \) с серединой \( M \) стороны \( BD \), а отрезок \( AN \) соединяет вершину \( A \) с серединой \( N \) стороны \( CD \).

3. По теореме о средней линии, отрезки \( AM \) и \( AN \) делят диагональ \( BD \) на равные части.

4. Точки пересечения \( AM \) и \( AN \) с диагональю \( BD \) обозначим как \( P \) и \( Q \). Тогда \( BP = PQ = QD \).

5. Следовательно, диагональ \( BD \) делится на три равные части:
\( BP = PQ = QD = \frac{1}{3}BD \).