ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 14.16 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Две окружности с центрами \(O_1\) и \(O_2\) и радиусами \(8 \, \text{см}\) и \(12 \, \text{см}\) соответственно имеют внешнее касание в точке \(A\). Их общая внешняя касательная пересекает прямую \(O_1O_2\) в точке \(B\). Найдите расстояния от точки \(B\) до центров данных окружностей.

Для решения задачи используем свойства внешней касательной и геометрические соотношения.

1. Задаем радиусы окружностей: \( r_1 = 8 \, \text{см} \) и \( r_2 = 12 \, \text{см} \). Пусть расстояние от точки \( B \) до центра первой окружности \( O_1 \) равно \( x \), а до центра второй окружности \( O_2 \) — \( y \).

2. Используем пропорцию для нахождения расстояний от точки \( B \):
\(
\frac{x}{y} = \frac{r_1}{r_2} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}
\)
Из этого следует, что \( x = \frac{2}{3}y \).

3. Сумма расстояний от точки \( B \) до центров окружностей равна общему расстоянию между центрами окружностей:
\(
x + y = 100 \, \text{см}
\)

4. Подставляем выражение для \( x \):
\(
\frac{2}{3}y + y = 100
\)
Приводим к общему знаменателю:
\(
\frac{2}{3}y + \frac{3}{3}y = 100
\)
\(
\frac{5}{3}y = 100
\)

5. Умножаем обе стороны на 3:
\(
5y = 300
\)
Делим на 5:
\(
y = 60 \, \text{см}
\)
Находим \( x \):
\(
x = \frac{2}{3} \times 60 = 40 \, \text{см}
\)

Ответ: \( 40 \, \text{см} \) и \( 60 \, \text{см} \).

1. Задаем радиусы окружностей: радиус первой окружности обозначаем как \( r_1 = 8 \, \text{см} \), радиус второй окружности обозначаем как \( r_2 = 12 \, \text{см} \). Пусть расстояние от точки \( B \) до центра первой окружности \( O_1 \) обозначается как \( x \), а расстояние от точки \( B \) до центра второй окружности \( O_2 \) обозначается как \( y \). Эти расстояния являются неизвестными, которые нужно определить.

2. Согласно теореме о внешней касательной, расстояния от внешней точки \( B \) до центров окружностей пропорциональны радиусам этих окружностей. Это означает, что отношение расстояний \( x \) и \( y \) совпадает с отношением радиусов \( r_1 \) и \( r_2 \). Записываем это утверждение в виде пропорции:
\( \frac{x}{y} = \frac{r_1}{r_2} \).
Подставляем значения радиусов:
\( \frac{x}{y} = \frac{8}{12} \).
Сокращаем дробь:
\( \frac{x}{y} = \frac{2}{3} \).
Теперь выражаем \( x \) через \( y \):
\( x = \frac{2}{3} \cdot y \).
Таким образом, связь между \( x \) и \( y \) установлена, и мы можем использовать это выражение в дальнейшем для решения задачи.

3. Сумма расстояний \( x \) и \( y \) от точки \( B \) до центров окружностей равна общему расстоянию между центрами окружностей. Это утверждение следует из геометрии задачи, так как точка \( B \) лежит на внешней касательной линии между окружностями. Записываем это условие в виде уравнения:
\( x + y = 100 \).
Подставляем выражение для \( x \), найденное ранее (\( x = \frac{2}{3} \cdot y \)), в это уравнение:
\( \frac{2}{3} \cdot y + y = 100 \).

4. Приводим левую часть уравнения к общему знаменателю. Заметим, что \( y \) можно записать как \( \frac{3}{3} \cdot y \), чтобы уравнять знаменатели:
\( \frac{2}{3} \cdot y + \frac{3}{3} \cdot y = 100 \).
Теперь складываем дроби в левой части уравнения:
\( \frac{5}{3} \cdot y = 100 \).
Чтобы избавиться от дроби, умножаем обе стороны уравнения на \( 3 \):
\( 5y = 300 \).
Делим обе стороны уравнения на \( 5 \), чтобы найти значение \( y \):
\( y = 60 \, \text{см} \).

5. Теперь, когда значение \( y \) найдено, возвращаемся к выражению для \( x \), которое мы получили на втором шаге (\( x = \frac{2}{3} \cdot y \)). Подставляем значение \( y = 60 \):
\( x = \frac{2}{3} \cdot 60 \).
Выполняем умножение:
\( x = 40 \, \text{см} \).

Ответ: расстояния от точки \( B \) до центров окружностей равны \( 40 \, \text{см} \) и \( 60 \, \text{см} \).