ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 14.18 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Периметр равнобедренного треугольника равен \(48 \, \text{см}\). Через середину высоты треугольника, опущенной на его основание, проведена прямая, параллельная боковой стороне. Найдите периметр треугольника, который эта прямая отсекает от данного.

Периметр треугольника равен сумме длин его сторон. Поскольку треугольник равнобедренный, две его стороны равны, а третья равна половине периметра. Таким образом, периметр треугольника, отсекаемого параллельной прямой, равен \(3 \cdot \frac{P}{2} = \frac{3}{2}P\), где \(P\) — периметр исходного треугольника.

1. Дан равнобедренный треугольник ABC с периметром 48 см. Периметр равнобедренного треугольника – это сумма длин его двух равных боковых сторон и основания. Пусть длина боковой стороны равна a, а длина основания равна b. Тогда 2a + b = 48.

2. Через середину высоты, опущенной на основание треугольника, проведена прямая, параллельная боковой стороне. Высота делит основание b на две равные части, каждая из которых равна b/2. Прямая, параллельная боковой стороне, отсекает меньший равнобедренный треугольник.

3. Меньший треугольник также равнобедренный, так как прямая параллельна боковой стороне исходного треугольника. Его две боковые стороны равны, а основание равно половине основания исходного треугольника, то есть b/2.

4. Периметр меньшего треугольника равен сумме длин его сторон. Если обозначить длину боковой стороны меньшего треугольника через a’, то его периметр будет равен 2a’ + (b/2).

5. Поскольку меньший треугольник подобен исходному треугольнику, его стороны пропорциональны сторонам исходного треугольника. Коэффициент подобия равен 1/2, так как прямая проходит через середину высоты. Следовательно, длина боковой стороны меньшего треугольника a’ равна половине длины боковой стороны исходного треугольника, то есть a’ = a/2.

6. Подставим a’ = a/2 и b/2 в формулу периметра меньшего треугольника: 2a’ + (b/2) = 2(a/2) + (b/2) = a + (b/2).

7. Из уравнения периметра исходного треугольника 2a + b = 48 выразим a: a = (48 — b)/2. Подставим это значение в формулу периметра меньшего треугольника: a + (b/2) = (48 — b)/2 + (b/2) = (48 — b + b)/2 = 48/2 = 36.

8. Таким образом, периметр меньшего треугольника равен 36 см.