ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 14.20 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
В треугольнике \(ABC\) \(AB = 8 \, \text{см}\), \(BC = 12 \, \text{см}\), \(\angle ABC = 120^\circ\), отрезок \(BD\) — биссектриса. Найдите отрезок \(BD\).
1. Дано: \( \angle ABC = 120^\circ \), \( AB = 8 \, \text{см} \), \( BC = 12 \, \text{см} \). Нужно найти \( BD \) — биссектрису угла \( \angle ABC \).
2. По теореме о биссектрисе:
\(\frac{AB}{BC} = \frac{AD}{DC}\)
Подставим значения:
\(\frac{8}{12} = \frac{AD}{DC}\)
Упростим:
\(\frac{2}{3} = \frac{AD}{DC}\)
Это значит, что \( AD = \frac{2}{5} \cdot BC \) и \( DC = \frac{3}{5} \cdot BC \).
3. Обозначим \( AD = x \), тогда \( DC = \frac{3}{2}x \). Составим уравнение:
\( x + \frac{3}{2}x = 12 \)
Приведем к общему знаменателю:
\(\frac{5}{2}x = 12\)
Умножим на 2:
\( 5x = 24 \)
Делим на 5:
\( x = 4.8 \, \text{см} \)
Таким образом, \( AD = 4.8 \, \text{см} \), \( DC = 7.2 \, \text{см} \).
4. Для нахождения длины биссектрисы используем формулу:
\( BD = \sqrt{AB \cdot BC \left( 1 — \frac{AC^2}{(AB + BC)^2} \right)} \)
Подставляем значения:
\( BD = \sqrt{8 \cdot 12 \left( 1 — \frac{12^2}{(8 + 12)^2} \right)} \)
Решаем:
\( BD = \sqrt{96 \left( 1 — \frac{144}{400} \right)} = \sqrt{96 \cdot 0.64} = \sqrt{61.44} \)
5. Таким образом, \( BD = 4.8 \, \text{см} \).
1. Дано: треугольник \( ABC \) с углом \( \angle ABC = 120^\circ \), длинами сторон \( AB = 8 \, \text{см} \) и \( BC = 12 \, \text{см} \). Мы ищем длину отрезка \( BD \), который является биссектрисой угла \( \angle ABC \).
2. По теореме о биссектрисе, биссектрисы угла делят противоположную сторону пропорционально длинам смежных сторон. Это можно записать в виде:
\(\frac{AB}{BC} = \frac{AD}{DC}\)
Где \( AD \) и \( DC \) — отрезки, на которые биссектрису делит точка \( D \) на стороне \( AC \).
3. Подставим известные значения в соотношение:
\(\frac{8}{12} = \frac{AD}{DC}\)
Упростим дробь:
\(\frac{2}{3} = \frac{AD}{DC}\)
Это указывает на то, что длина отрезка \( AD \) составляет \( \frac{2}{5} \) от всей длины \( BC \), а длина отрезка \( DC \) составляет \( \frac{3}{5} \) от всей длины \( BC \).
4. Обозначим длину отрезка \( AD = x \). Тогда для \( DC \) можно записать:
\( DC = \frac{3}{2}x \)
Теперь составим уравнение, используя сумму отрезков \( AD \) и \( DC \):
\( x + \frac{3}{2}x = 12 \)
5. Приведем к общему знаменателю:
\(\frac{5}{2}x = 12\)
Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:
\( 5x = 24 \)
Теперь делим обе стороны на 5:
\( x = 4.8 \, \text{см} \)
Таким образом, мы нашли длину отрезка \( AD \):
\( AD = 4.8 \, \text{см} \)
Теперь найдем \( DC \):
\( DC = \frac{3}{2} \cdot 4.8 = 7.2 \, \text{см} \)
6. Теперь, чтобы найти длину биссектрисы \( BD \), используем формулу для длины биссектрисы, которая выглядит следующим образом:
\( BD = \sqrt{AB \cdot BC \left( 1 — \frac{AC^2}{(AB + BC)^2} \right)} \)
7. Для начала нам нужно найти \( AC \). Для этого воспользуемся косинусом угла \( ABC \) по теореме косинусов:
\( AC^2 = AB^2 + BC^2 — 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle ABC) \)
Подставляем известные значения:
\( AC^2 = 8^2 + 12^2 — 2 \cdot 8 \cdot 12 \cdot \cos(120^\circ) \)
Зная, что \( \cos(120^\circ) = -\frac{1}{2} \), подставляем это значение:
\( AC^2 = 64 + 144 + 2 \cdot 8 \cdot 12 \cdot \frac{1}{2} \)
8. Упрощаем:
\( AC^2 = 64 + 144 + 96 = 304 \)
Теперь найдём \( AC \):
\( AC = \sqrt{304} \)
9. Теперь подставим \( AC \) в формулу для \( BD \):
\( BD = \sqrt{8 \cdot 12 \left( 1 — \frac{304}{(8 + 12)^2} \right)} \)
Сначала найдем \( (8 + 12)^2 = 400 \):
\( BD = \sqrt{96 \left( 1 — \frac{304}{400} \right)} \)
10. Упростим выражение:
\( BD = \sqrt{96 \left( 1 — 0.76 \right)} = \sqrt{96 \cdot 0.24} = \sqrt{23.04} \)
11. Теперь вычислим \( BD \):
\( BD = 4.8 \, \text{см} \)
Таким образом, длина биссектрисы \( BD \) равна \( 4.8 \, \text{см} \).
