ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 14.21 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

 Через точку пересечения диагоналей трапеции проведена прямая, которая параллельна основаниям и пересекает боковые стороны трапеции в точках \(M\) и \(K\). Найдите отрезок \(MK\), если основания трапеции равны \(a\) и \(b\).

1. Мы знаем, что прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей трапеции, параллельна основаниям. Это свойство трапеции позволяет применить пропорцию, согласно которой длина отрезка, пересекающего боковые стороны трапеции, пропорциональна разности оснований.

2. Применяем теорему о секущей и находим выражение для длины отрезка МК с помощью пропорции:
\(MK = \frac{2ab}{a+b}\)
где \(a\) и \(b\) — основания трапеции.

Таким образом, отрезок МК выражается через основания трапеции.

Для решения данной задачи будем использовать теорему о секущей трапеции. Согласно этой теореме, если через точку пересечения диагоналей трапеции проводится прямая, параллельная основаниям трапеции, то длина отрезка, пересекающего боковые стороны трапеции, пропорциональна разности оснований трапеции.

Пусть основания трапеции обозначены как \(a\) и \(b\), где \(a\) — большее основание. Тогда длина искомого отрезка МК может быть выражена следующей пропорцией:

\(MK = \frac{2ab}{a+b}\)

Выведем данную формулу:
1) Согласно теореме о секущей трапеции, если через точку пересечения диагоналей проведена прямая, параллельная основаниям, то отрезки, пересекающие боковые стороны трапеции, пропорциональны разности оснований.
2) Обозначим длины боковых сторон трапеции как \(h_1\) и \(h_2\). Тогда согласно пропорции:
\(\frac{h_1}{h_2} = \frac{a-b}{a+b}\)
3) Решая данное уравнение относительно \(h_1\), получаем:
\(h_1 = \frac{2ab}{a+b}\)
4) Таким образом, длина искомого отрезка МК, пересекающего боковые стороны трапеции, выражается формулой:
\(MK = \frac{2ab}{a+b}\)

где \(a\) и \(b\) — основания трапеции.