ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 15.10 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Можно ли утверждать, что два равнобедренных треугольника подобны, если у них есть: 1) по равному острому углу; 2) по прямому углу; 3) по равному тупому углу?

Если два равнобедренных треугольника имеют равные углы, то они подобны. Рассмотрим два равнобедренных треугольника \( ABC \) и \( DEF \), где \( AB = AC \) и \( DE = DF \).

1. Пусть угол \( A \) равен углу \( D \): \( \angle A = \angle D \).
2. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, значит \( \angle B = \angle C \) и \( \angle E = \angle F \).
3. Сумма углов в треугольнике равна \( 180^\circ \), поэтому \( \angle B + \angle C = 180^\circ — \angle A \) и \( \angle E + \angle F = 180^\circ — \angle D \).
4. Поскольку \( \angle A = \angle D \), то \( \angle B + \angle C = \angle E + \angle F \).
5. Таким образом, по теореме о подобии треугольников по углам, \( \triangle ABC \sim \triangle DEF \).

Рассмотрим два равнобедренных треугольника \( \triangle ABC \) и \( \triangle DEF \), где \( AB = AC \) и \( DE = DF \). Требуется доказать, что если углы \( \angle A \) и \( \angle D \) равны, то треугольники подобны. Приведем максимально подробное пошаговое доказательство с разъяснениями.

1. Начнем с анализа свойств равнобедренного треугольника. В равнобедренном треугольнике два угла, лежащие при основании, всегда равны. Это фундаментальное свойство равнобедренных треугольников, которое вытекает из симметрии фигуры. Для треугольника \( \triangle ABC \) с равными сторонами \( AB = AC \) углы при основании \( BC \) равны:
\( \angle B = \angle C \).
Для треугольника \( \triangle DEF \) с равными сторонами \( DE = DF \) углы при основании \( EF \) также равны:
\( \angle E = \angle F \).

2. По условию задачи задано, что угол \( \angle A \) равен углу \( \angle D \). Это ключевое условие, которое связывает два треугольника. Запишем это равенство:
\( \angle A = \angle D \).

3. Используем свойство суммы углов треугольника. Сумма углов любого треугольника равна \( 180^\circ \). Для треугольника \( \triangle ABC \) запишем это свойство:
\( \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ \).
Поскольку в равнобедренном треугольнике углы при основании равны (\( \angle B = \angle C \)), можем заменить \( \angle C \) на \( \angle B \):
\( \angle A + \angle B + \angle B = 180^\circ \).
Упростим выражение:
\( \angle A + 2\angle B = 180^\circ \).
Выразим угол \( \angle B \) через угол \( \angle A \):
\( \angle B = \frac{180^\circ — \angle A}{2} \).

4. Аналогично для треугольника \( \triangle DEF \):
\( \angle D + \angle E + \angle F = 180^\circ \).
Поскольку \( \angle E = \angle F \), можем заменить \( \angle F \) на \( \angle E \):
\( \angle D + \angle E + \angle E = 180^\circ \).
Упростим выражение:
\( \angle D + 2\angle E = 180^\circ \).
Выразим угол \( \angle E \) через угол \( \angle D \):
\( \angle E = \frac{180^\circ — \angle D}{2} \).

5. Подставим равенство \( \angle A = \angle D \) в выражения для углов \( \angle B \) и \( \angle E \):
\( \angle B = \frac{180^\circ — \angle A}{2}, \quad \angle E = \frac{180^\circ — \angle D}{2} \).
Поскольку \( \angle A = \angle D \), то:
\( \angle B = \angle E \).

6. Мы доказали, что углы \( \angle B \) и \( \angle E \) равны. Теперь рассмотрим углы \( \angle C \) и \( \angle F \). В треугольнике \( \triangle ABC \) угол \( \angle C \) равен углу \( \angle B \) (\( \angle C = \angle B \)), так как углы при основании равны. Аналогично, в треугольнике \( \triangle DEF \) угол \( \angle F \) равен углу \( \angle E \) (\( \angle F = \angle E \)). Поскольку \( \angle B = \angle E \), то:
\( \angle C = \angle F \).

7. Таким образом, мы доказали равенство всех соответствующих углов двух треугольников:
\( \angle A = \angle D, \quad \angle B = \angle E, \quad \angle C = \angle F \).

8. Согласно теореме о подобии треугольников по углам, если все три угла одного треугольника равны трем углам другого треугольника, то эти треугольники подобны. Следовательно:
\( \triangle ABC \sim \triangle DEF \).

9. Подобие треугольников означает, что их соответствующие стороны пропорциональны. Однако в данном случае доказательство основывается исключительно на равенстве углов, что достаточно для утверждения подобия.