ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 15.14 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что в подобных треугольниках высоты, проведённые из вершин соответственных углов, относятся как соответственные стороны.

1. Пусть треугольники \( ABC \) и \( A’B’C’ \) подобны, тогда выполняется равенство углов: \( \angle A = \angle A’ \), \( \angle B = \angle B’ \), \( \angle C = \angle C’ \).

2. Обозначим высоты из вершин \( A \) и \( A’ \) как \( h \) и \( h’ \) соответственно. Высота \( h \) из вершины \( A \) перпендикулярна основанию \( BC \), а высота \( h’ \) из вершины \( A’ \) перпендикулярна основанию \( B’C’ \).

3. Рассмотрим треугольники \( ABC \) и \( A’B’C’ \). Поскольку они подобны, то их стороны относятся как коэффициент подобия \( k \): \( \frac{AB}{A’B’} = k \).

4. Высота \( h \) делит основание \( BC \) на два отрезка, а высота \( h’ \) делит основание \( B’C’ \) на два отрезка. Поскольку треугольники подобны, можно записать равенство: \( \frac{h}{h’} = \frac{AB}{A’B’} = k \).

5. Таким образом, высоты \( h \) и \( h’ \) относятся как соответствующие стороны треугольников: \( \frac{h}{h’} = k \). Это завершает доказательство, что в подобных треугольниках высоты относятся как соответствующие стороны.

1. Пусть треугольники \( ABC \) и \( A’B’C’ \) подобны. Это означает, что их соответствующие углы равны: \( \angle A = \angle A’ \), \( \angle B = \angle B’ \), \( \angle C = \angle C’ \). Подобие треугольников подразумевает, что их стороны пропорциональны, то есть существует коэффициент подобия \( k \), такой что \( \frac{AB}{A’B’} = \frac{BC}{B’C’} = \frac{CA}{C’A’} = k \).

2. Рассмотрим высоты \( h \) и \( h’ \), проведенные из вершин \( A \) и \( A’ \) на соответствующие основания \( BC \) и \( B’C’ \). Высота \( h \) из вершины \( A \) перпендикулярна основанию \( BC \) и делит его на два отрезка. Аналогично, высота \( h’ \) из вершины \( A’ \) перпендикулярна основанию \( B’C’ \) и также делит его на два отрезка.

3. Поскольку треугольники подобны, значит, их соответствующие стороны и высоты будут пропорциональны. Рассмотрим отношение высот \( h \) и \( h’ \). Мы можем записать, что отношение высот равно отношению соответствующих сторон: \( \frac{h}{h’} = \frac{AB}{A’B’} \).

4. Подставим в это равенство коэффициент подобия \( k \): \( \frac{h}{h’} = k \). Это указывает на то, что высоты \( h \) и \( h’ \) также относятся как соответствующие стороны треугольников, поскольку мы знаем, что \( AB \) и \( A’B’ \) относятся как \( k \).

5. Теперь рассмотрим конкретные значения. Пусть \( AB = 6 \) и \( A’B’ = 3 \). Тогда коэффициент подобия \( k = \frac{AB}{A’B’} = \frac{6}{3} = 2 \). Это значит, что высота \( h \) будет в два раза больше высоты \( h’ \): \( h = 2h’ \).

6. Далее, если высота \( h’ \) равна, например, 4, то высота \( h \) будет равна \( h = 2 \cdot 4 = 8 \). Таким образом, мы видим, что высоты относятся так же, как соответствующие стороны, что подтверждает наше утверждение.

7. Для более глубокого понимания можно обратиться к теореме о подобии треугольников, которая утверждает, что если два треугольника подобны, то их высоты, проведенные из соответствующих углов, также пропорциональны. Это связано с тем, что высота в треугольнике является мерой отрезка, который перпендикулярен основанию, и подобие сохраняет эту пропорциональность.

8. Подобие треугольников также можно визуализировать. Если увеличить или уменьшить один треугольник, сохраняя углы, то все линейные размеры, включая высоты, будут изменяться в одинаковом соотношении. Это еще раз подтверждает, что высоты \( h \) и \( h’ \) будут относиться как соответствующие стороны.

9. Следовательно, мы пришли к выводу, что в любых подобных треугольниках высоты, проведённые из соответствующих углов, относятся как соответствующие стороны. Это свойство является важным в геометрии и применяется в различных задачах.

10. Таким образом, мы доказали, что для подобных треугольников выполняется равенство: \( \frac{h}{h’} = \frac{AB}{A’B’} \), что и подтверждает, что высоты относятся как соответствующие стороны.