ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 15.17 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна \(20 \, \text{см}\), а больший катет — \(16 \, \text{см}\). Найдите отрезки, на которые серединный перпендикуляр гипотенузы делит больший катет.

Дано: \(AB = 20\) см, \(AC = 16\) см. Найти отрезки \(x = BD\) и \(y = AD\), на которые перпендикуляр \(CD\) делит гипотенузу \(AB\).

1) Из подобия треугольников \(ACD\), \(BCD\) и \(ABC\) следует, что \(\frac{AC}{AB} = \frac{AD}{AC} = \frac{BC}{AB}\).
2) Применяя теорему о произведении отрезков, получаем: \(AC \cdot BC = AD \cdot BD\).
3) Подставляя известные значения, имеем: \(16 \cdot (20 — 16) = AD \cdot BD\).
4) Решая уравнение, находим: \(AD = 2,5\) см и \(BD = 3,5\) см.

Ответ: \(x = 2,5\) см, \(y = 3,5\) см.

1. Обозначим гипотенузу \(AB = 20\) см, большой катет \(AC = 16\) см, а отрезки на гипотенузе, на которые её делит перпендикуляр \(CD\), обозначим как \(x\) и \(y\), где \(x = BD\) и \(y = AD\).

2. Из теоремы о перпендикуляре, опущенном из прямого угла к гипотенузе, следует, что прямоугольные треугольники \(ACD\), \(BCD\), и \(ABC\) подобны между собой. То есть: \(\frac{AC}{AB} = \frac{AD}{AC} = \frac{BC}{AB}\).

3. Составим систему уравнений, используя теорему о произведении отрезков: \(AC \cdot BC = AD \cdot BD\).

4. Подставляем известные значения и решаем: \(16 — BC = AD \cdot BD\), где \(BC = 20 — 16 = 4\), что даёт: \(16 \cdot 4 = AD \cdot BD\).

5. Получаем \(AD = 2,5\) см и \(BD = 3,5\) см.

Ответ: отрезки, на которые перпендикуляр делит гипотенузу, составляют \(2,5\) см и \(3,5\) см.