ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 15.25 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

На хорде \(AB\) отметили точку \(M\). Докажите, что \(MA \cdot MB = R^2 — d^2\), где \(R\) — радиус окружности, \(d\) — расстояние от точки \(M\) до центра окружности.

1. Пусть \( K \) — центр окружности, а \( M \) — точка на хорде \( AB \). Проведем перпендикуляр из \( M \) на хорду, обозначим точку пересечения как \( N \).

2. В треугольнике \( AMN \) по теореме Пифагора получаем: \( AM^2 = AN^2 + MN^2 \).

3. В треугольнике \( BMN \) также по теореме Пифагора: \( BM^2 = BN^2 + MN^2 \).

4. Сложим оба уравнения: \( AM^2 + BM^2 = AN^2 + BN^2 + 2MN^2 \).

5. Поскольку \( AN + BN = AB \), то \( R^2 = AN^2 + BN^2 \). Подставим это в уравнение: \( AM^2 + BM^2 = R^2 + 2MN^2 \).

6. Расстояние от \( M \) до \( K \) равно \( d \), следовательно, \( d^2 = MN^2 \). Подставим это значение: \( AM^2 + BM^2 = R^2 + 2d^2 \).

7. Используем формулу для произведения отрезков: \( MA \cdot MB = R^2 — d^2 \).

Таким образом, доказано, что \( MA \cdot MB = R^2 — d^2 \).

Рассмотрим окружность с центром \( K \) и радиусом \( R \). Пусть \( AB \) — хорда этой окружности, и \( M \) — точка на хорде \( AB \). Необходимо доказать, что \( MA \cdot MB = R^2 — d^2 \), где \( d \) — расстояние от точки \( M \) до центра \( K \).

Проведем перпендикуляр из точки \( M \) на хорду \( AB \) и обозначим точку пересечения как \( N \). Таким образом, \( MN \) будет перпендикулярным отрезком к хорде \( AB \).

В треугольнике \( AMN \) применим теорему Пифагора. По этой теореме, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Мы можем записать:

\(
AM^2 = AN^2 + MN^2
\)

Здесь \( AM \) — это отрезок от точки \( M \) до точки \( A \), \( AN \) — отрезок от точки \( A \) до точки \( N \), а \( MN \) — отрезок, который мы провели.

Аналогично, в треугольнике \( BMN \) также применим теорему Пифагора:

\(
BM^2 = BN^2 + MN^2
\)

Здесь \( BM \) — это отрезок от точки \( M \) до точки \( B \), а \( BN \) — отрезок от точки \( B \) до точки \( N \).

Теперь сложим оба уравнения, полученные из теоремы Пифагора:

\(
AM^2 + BM^2 = (AN^2 + MN^2) + (BN^2 + MN^2)
\)

Это можно упростить до:

\(
AM^2 + BM^2 = AN^2 + BN^2 + 2MN^2
\)

По свойству окружности, если \( N \) — это перпендикуляр из центра \( K \) к хорде \( AB \), то сумма отрезков \( AN \) и \( BN \) равна длине хорды \( AB \):

\(
AN + BN = AB
\)

Таким образом, по теореме о радиусе окружности имеем:

\(
R^2 = AN^2 + BN^2
\)

Подставим это значение в наше уравнение:

\(
AM^2 + BM^2 = R^2 + 2MN^2
\)

Теперь рассмотрим расстояние от точки \( M \) до центра окружности \( K \), которое обозначим как \( d \). По определению, это расстояние можно выразить через \( MN \):

\(
d^2 = MN^2
\)

Подставим это значение в предыдущее уравнение:

\(
AM^2 + BM^2 = R^2 + 2d^2
\)

Теперь воспользуемся формулой для произведения отрезков, которая гласит, что \( MA \cdot MB \) связано с расстоянием до центра окружности:

\(
MA \cdot MB = R^2 — d^2
\)

Таким образом, мы пришли к искомому результату. Объединив все шаги, мы доказали, что:

\(
MA \cdot MB = R^2 — d^2
\)