ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 15.28 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Через точку \(A\) проведены к окружности касательная \(AM\) (\(M\) — точка касания) и секущая, которая пересекает окружность в точках \(K\) и \(P\) (точка \(K\) лежит между точками \(A\) и \(P\)). Найдите отрезок \(KP\), если \(AM = 12 \, \text{см}\), \(AP = 18 \, \text{см}\).

По теореме о касательной и секущей, если проведена касательная \( AM \) и секущая \( AP \), то выполняется следующее соотношение:

\( AM^2 = AK \cdot AP \)

1. Подставляем известные значения: \( AM = 12 \, \text{см} \) и \( AP = 18 \, \text{см} \).

\( 12^2 = AK \cdot 18 \)

2. Вычисляем \( 12^2 \):

\( 144 = AK \cdot 18 \)

3. Решаем уравнение для \( AK \):

\( AK = \frac{144}{18} = 8 \, \text{см} \)

4. Находим длину отрезка \( KP \):

\( KP = AP — AK = 18 — 8 = 10 \, \text{см} \)

Ответ: 10 см

Дано: точка \( A \) находится вне окружности, из неё проведены касательная \( AM \) и секущая \( AP \), которая пересекает окружность в точках \( K \) и \( P \). Известно, что \( AM = 12 \, \text{см} \) и \( AP = 18 \, \text{см} \). Нам нужно найти длину отрезка \( KP \).

1. Воспользуемся теоремой о касательной и секущей, которая утверждает, что квадрат длины касательной равен произведению отрезка секущей, который лежит вне окружности, на весь отрезок секущей. Это можно записать следующим образом:

\( AM^2 = AK \cdot AP \)

2. Подставим известные значения в формулу. Сначала найдем \( AM^2 \):

\( AM^2 = 12^2 = 144 \)

Теперь у нас есть уравнение:

\( 144 = AK \cdot 18 \)

3. Чтобы найти \( AK \), нам нужно выразить его через известные значения. Для этого разделим обе стороны уравнения на \( 18 \):

\( AK = \frac{144}{18} \)

4. Выполним деление:

\( AK = 8 \, \text{см} \)

Теперь мы знаем, что отрезок \( AK \) равен \( 8 \, \text{см} \).

5. Теперь найдем длину отрезка \( KP \). Длина секущей \( AP \) равна \( 18 \, \text{см} \), а длина отрезка \( AK \) равна \( 8 \, \text{см} \). Чтобы найти \( KP \), вычтем \( AK \) из \( AP \):

\( KP = AP — AK \)

6. Подставим значения:

\( KP = 18 — 8 \)

7. Выполним вычитание:

\( KP = 10 \, \text{см} \)

Ответ: 10 см