ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 15.29 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Через точку \(A\), лежащую вне окружности, проведены две прямые, одна из которых касается окружности в точке \(B\), а другая пересекает окружность в точках \(C\) и \(D\) (точка \(C\) лежит между точками \(A\) и \(D\)), \(AB = 18 \, \text{см}\), \(AC : CD = 4 : 5\). Найдите отрезок \(AD\).

1. По теореме о касательной и секущей: \( AB^2 = AC \cdot AD \).
2. Обозначим \( AC = 4x \) и \( CD = 5x \) (по условию \( AC:CD = 4:5 \)).
3. Тогда \( AD = AC + CD = 4x + 5x = 9x \).
4. Подставляем известные значения в уравнение: \( AB = 18 \), \( AC = 4x \), \( AD = 9x \).
5. Получаем уравнение: \( 18^2 = 4x \cdot 9x \), то есть \( 324 = 36x^2 \).

Решаем уравнение для \( x \):
\( x^2 = \frac{36}{324} = 9 \), откуда \( x = 3 \).

Находим длину отрезка \( AD \):
\( AD = 9x = 9 \cdot 3 = 27 \) см.

Ответ: 27 см

1. Рассмотрим задачу, в которой используется теорема о касательной и секущей. Эта теорема утверждает, что квадрат длины отрезка, соединяющего точку касания с точкой пересечения секущей, равен произведению отрезков, на которые секущая делит окружность. В нашем случае \( AB^2 = AC \cdot AD \).

2. По условию задачи нам известно, что отношение отрезков \( AC \) и \( CD \) равно \( 4:5 \). Обозначим \( AC = 4x \) и \( CD = 5x \), где \( x \) — это некая общая величина, которую мы будем искать.

3. Теперь найдем длину отрезка \( AD \). Отрезок \( AD \) состоит из отрезков \( AC \) и \( CD \), поэтому можем записать:
\( AD = AC + CD = 4x + 5x = 9x \).

4. Подставим известные значения в уравнение, используя данные из условия. Мы знаем, что \( AB = 18 \), \( AC = 4x \) и \( AD = 9x \). Подставляем эти значения в формулу:
\( AB^2 = AC \cdot AD \) становится \( 18^2 = 4x \cdot 9x \).

5. Теперь вычислим \( 18^2 \): \( 18^2 = 324 \). Далее подставим это значение в уравнение:
\( 324 = 4x \cdot 9x \). Упрощаем правую часть: \( 4x \cdot 9x = 36x^2 \). Таким образом, у нас получается уравнение:
\( 324 = 36x^2 \).

6. Чтобы найти \( x^2 \), разделим обе стороны уравнения на 36:
\( x^2 = \frac{324}{36} \). Вычислим правую часть: \( \frac{324}{36} = 9 \). Таким образом, получаем:
\( x^2 = 9 \).

7. Теперь найдем \( x \) путем извлечения квадратного корня из обеих сторон:
\( x = 3 \). Это значение \( x \) мы будем использовать для нахождения длины отрезка \( AD \).

8. Теперь подставим найденное значение \( x \) в выражение для \( AD \):
\( AD = 9x = 9 \cdot 3 = 27 \) см. Таким образом, мы нашли длину отрезка \( AD \).

9. Подводя итог, мы получили, что длина отрезка \( AD \) равна 27 см. Это значение соответствует условиям задачи и подтверждает правильность наших расчетов.

10. Ответ: 27 см.