ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 15.30 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Через точку \(A\), лежащую вне окружности (рис. 15.17), проведены две прямые, одна из которых пересекает окружность в точках \(B\) и \(C\) (точка \(B\) лежит между точками \(A\) и \(C\)), а другая — в точках \(D\) и \(E\) (точка \(D\) лежит между точками \(A\) и \(E\)).  

1) Докажите, что \(AB \cdot AC = AD \cdot AE\).  

2) Найдите отрезок \(AE\), если \(AB = 18 \, \text{см}\), \(BC = 12 \, \text{см}\) и \(AD : DE = 5 : 7\).

1) Доказательство равенства \( AB \cdot AC = AD \cdot AE \):
По теореме о секущих, проведенных из одной точки, справедливо равенство \( AB \cdot AC = AD \cdot AE \).

2) Нахождение отрезка \( AE \):
Обозначим:
\( AB = 18 \) см,
\( BC = 12 \) см.
Следовательно, \( AC = AB + BC = 18 + 12 = 30 \) см.

По условию \( AD:DE = 5:7 \). Пусть \( AD = 5x \) и \( DE = 7x \). Тогда:
\( AE = AD + DE = 5x + 7x = 12x \).

По теореме о секущих:
\( AB \cdot AC = AD \cdot AE \).
Подставляем известные значения:
\( 18 \cdot 30 = 5x \cdot 12x \).

Решаем уравнение:
\( 540 = 60x^2 \).

Находим \( x^2 \):
\( x^2 = \frac{540}{60} = 9 \).
Следовательно, \( x = 3 \).

Теперь находим \( AE \):
\( AE = 12x = 12 \cdot 3 = 36 \) см.

Ответ: 36 см.

1) Доказательство равенства \( AB \cdot AC = AD \cdot AE \):
Рассмотрим две секущие, проведенные из точки \( A \), которая находится вне окружности. Первая секущая пересекает окружность в точках \( B \) и \( C \), а вторая – в точках \( D \) и \( E \). По теореме о секущих, проведенных из одной точки, мы знаем, что произведение отрезков, образованных на первой секущей, равно произведению отрезков, образованных на второй секущей. То есть:
\(
AB \cdot AC = AD \cdot AE
\)
Это равенство основано на свойстве секущих, которое утверждает, что если из одной точки провести две секущие, то произведение отрезков первой секущей равно произведению отрезков второй секущей.

2) Нахождение отрезка \( AE \):
Теперь перейдем к расчетам. Обозначим известные величины:
\( AB = 18 \) см,
\( BC = 12 \) см.
Для нахождения отрезка \( AC \) суммируем \( AB \) и \( BC \):
\(
AC = AB + BC = 18 + 12 = 30 \text{ см}
\)

Далее, по условию задачи, соотношение отрезков \( AD \) и \( DE \) равно \( 5:7 \). Это означает, что если обозначить \( AD = 5x \) и \( DE = 7x \), то мы можем выразить \( AE \) как сумму этих отрезков:
\(
AE = AD + DE = 5x + 7x = 12x
\)

Теперь подставим все известные значения в формулу, полученную из теоремы о секущих:
\(
AB \cdot AC = AD \cdot AE
\)
Подставляем известные величины:
\(
18 \cdot 30 = 5x \cdot 12x
\)
Выполним умножение:
\(
540 = 60x^2
\)

Теперь решим это уравнение для \( x^2 \):
\(
x^2 = \frac{540}{60} = 9
\)
Следовательно, извлекая корень, получаем:
\(
x = 3
\)

Теперь, зная значение \( x \), можем найти отрезок \( AE \):
\(
AE = 12x = 12 \cdot 3 = 36 \text{ см}
\)

Ответ: 36 см.