ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 15.31 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Через точку \(M\), лежащую вне окружности, проведена прямая, пересекающая данную окружность в точках \(A\) и \(B\). Докажите, что \(MA \cdot MB = d^2 — R^2\), где \(R\) — радиус окружности, \(d\) — расстояние от точки \(M\) до центра окружности.

Пусть O — центр окружности, R — её радиус, M — точка вне окружности. Прямая, проходящая через M, пересекает окружность в точках A и B. Обозначим MA = x, MB = y, d — расстояние от M до O.

1. По теореме о секущей: \( MA \cdot MB = MK \cdot ML \), где K и L — проекции точек A и B на диаметр, проходящий через O и M.
2. Рассмотрим треугольник \( \triangle OMK \):
— Гипотенуза \( OM = d \),
— Один из катетов \( OK = R \),
— Другой катет \( MK = \sqrt{d^2 — R^2} \) (по теореме Пифагора).
3. Аналогично для треугольника \( \triangle OML \):
— Гипотенуза \( OM = d \),
— Один из катетов \( OL = R \),
— Другой катет \( ML = \sqrt{d^2 — R^2} \).
4. Тогда \( MK \cdot ML = \sqrt{d^2 — R^2} \cdot \sqrt{d^2 — R^2} = d^2 — R^2 \).
5. Подставляем в уравнение секущей: \( MA \cdot MB = MK \cdot ML \) даёт \( MA \cdot MB = d^2 — R^2 \).

Пусть O — центр окружности, R — радиус окружности, M — точка, находящаяся вне окружности. Прямая, проходящая через точку M, пересекает окружность в точках A и B. Обозначим MA = x, MB = y, d — расстояние от точки M до центра окружности O. Мы должны доказать, что \( MA \cdot MB = d^2 — R^2 \).

1. Рассмотрим прямую, проходящую через точки A и B, и проведем перпендикуляры от точек A и B до диаметра, проходящего через O и M. Обозначим проекции этих точек на диаметр как K и L соответственно. Таким образом, MK и ML — это отрезки, которые мы будем использовать для дальнейших вычислений.

2. В треугольнике \( \triangle OMK \) у нас есть:
— Гипотенуза \( OM = d \) (расстояние от точки M до центра O),
— Один из катетов \( OK = R \) (радиус окружности),
— Другой катет \( MK \) можно найти по теореме Пифагора: \( MK = \sqrt{OM^2 — OK^2} = \sqrt{d^2 — R^2} \).

3. Аналогично, в треугольнике \( \triangle OML \):
— Гипотенуза \( OM = d \),
— Один из катетов \( OL = R \),
— Другой катет \( ML \) также можно выразить через теорему Пифагора: \( ML = \sqrt{OM^2 — OL^2} = \sqrt{d^2 — R^2} \).

4. Теперь мы можем выразить произведение MK и ML:
\(
MK \cdot ML = \sqrt{d^2 — R^2} \cdot \sqrt{d^2 — R^2} = d^2 — R^2.
\)

5. По теореме о секущей, которая утверждает, что произведение отрезков, образованных секущей, равняется произведению отрезков, образованных проекциями на диаметр, мы можем записать:
\(
MA \cdot MB = MK \cdot ML.
\)

6. Подставляя найденное значение, получаем:
\(
MA \cdot MB = d^2 — R^2.
\)

Таким образом, мы доказали, что \( MA \cdot MB = d^2 — R^2 \).