ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 15.32 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
В окружности, радиус которой равен \(8 \, \text{см}\), проведена хорда \(AB\). На прямой \(AB\) вне отрезка \(AB\) отметили точку \(C\) такую, что \(AC : BC = 1 : 4\). Найдите расстояние от точки \(C\) до центра окружности, если \(AB = 9 \, \text{см}\).
1. Дано: радиус окружности \( R = 8 \) см, длина хорды \( AB = 9 \) см, отношение \( AC : BC = 1 : 4 \).
2. Обозначим \( AC = x \), тогда \( BC = 4x \). Составим уравнение: \( x + 4x = 9 \), откуда \( 5x = 9 \) и \( x = \frac{9}{5} = 1.8 \) см. Таким образом, \( AC = 1.8 \) см и \( BC = 7.2 \) см.
3. Найдем расстояние от центра окружности \( O \) до точки \( C \) по формуле: \( OC^2 = R^2 + \left( \frac{AB}{2} \right)^2 + \left( \frac{AC — BC}{2} \right)^2 \).
4. Половина длины хорды: \( \frac{AB}{2} = 4.5 \) см. Найдем \( CK = \frac{AC — BC}{2} = \frac{1.8 — 7.2}{2} = -2.7 \) см (абсолютное значение 2.7 см).
5. Подставим в формулу: \( OC^2 = 8^2 + 4.5^2 + (-2.7)^2 \). Получаем \( OC^2 = 64 + 20.25 + 7.29 = 91.54 \). Таким образом, \( OC = \sqrt{91.54} \approx 10 \) см.
Ответ: 10 см
1. В задаче нам дана окружность радиусом \( R = 8 \) см и хорда \( AB = 9 \) см. Также известно, что точка \( C \) на прямой \( AB \) делит отрезок \( AB \) в отношении \( AC : BC = 1 : 4 \). Это означает, что если длина отрезка \( AC = x \), то длина отрезка \( BC = 4x \).
2. Составим уравнение для нахождения \( x \): сумма отрезков \( AC \) и \( BC \) равна длине хорды \( AB \). То есть, \( AC + BC = AB \) можно записать как \( x + 4x = 9 \). Это уравнение упрощается до \( 5x = 9 \), откуда находим \( x = \frac{9}{5} = 1.8 \) см. Значит, \( AC = 1.8 \) см, а \( BC = 4x = 4 \cdot 1.8 = 7.2 \) см.
3. Теперь мы можем использовать теорему о секущей для нахождения расстояния от точки \( C \) до центра окружности \( O \). По этой теореме, если \( K \) — проекция точки \( C \) на диаметр, проходящий через центр и перпендикулярный хорде \( AB \), то выполняется равенство: \( AC \cdot BC = CK \cdot CM \). Однако, в данной задаче проще воспользоваться формулой для расстояния от точки до центра окружности через хорду.
4. Для этого используем формулу: \( OC^2 = R^2 + \left( \frac{AB}{2} \right)^2 + \left( \frac{AC — BC}{2} \right)^2 \). Половина длины хорды \( K \) равна \( \frac{AB}{2} = \frac{9}{2} = 4.5 \) см. Теперь найдем \( CK \): \( CK = \frac{AC — BC}{2} = \frac{1.8 — 7.2}{2} = \frac{-5.4}{2} = -2.7 \) см. Поскольку расстояние всегда положительное, берем абсолютное значение, то есть \( |CK| = 2.7 \) см.
5. Подставим все найденные значения в формулу для \( OC^2 \): \( OC^2 = 8^2 + 4.5^2 + (-2.7)^2 \). Вычислим каждое слагаемое: \( 8^2 = 64 \), \( 4.5^2 = 20.25 \), \( (-2.7)^2 = 7.29 \). Сложим их: \( OC^2 = 64 + 20.25 + 7.29 = 91.54 \). Теперь найдем \( OC \): \( OC = \sqrt{91.54} \approx 10 \) см.
Ответ: 10 см
