ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 15.33 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В равнобедренном треугольнике основание и боковая сторона соответственно равны \(5 \, \text{см}\) и \(20 \, \text{см}\). Найдите биссектрису треугольника, проведённую к боковой стороне.

1. По теореме о пропорциональности отрезков биссектрисы: \(\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}\), где \(BD = x\), \(DC = 18 — x\).
2. Подставляем значения: \(\frac{12}{15} = \frac{x}{18 — x}\).
3. Решаем пропорцию: \(12(18 — x) = 15x \Rightarrow 216 — 12x = 15x \Rightarrow 27x = 216 \Rightarrow x = 8\).
4. \(BD = 8\), \(DC = 18 — 8 = 10\).
5. По формуле длины биссектрисы: \(l = \sqrt{ab \cdot \left(1 — \frac{c^2}{(a + b)^2}\right)}\), где \(a = 12\), \(b = 15\), \(c = 18\). Подставляем: \(l = \sqrt{12 \cdot 15 \cdot \left(1 — \frac{18^2}{(12 + 15)^2}\right)} = \)
\(=\sqrt{180 \cdot \left(1 — \frac{324}{729}\right)} = \sqrt{180 \cdot \frac{405}{729}} = \sqrt{180 \cdot \frac{5}{9}} = \sqrt{100} = 10\).

Ответ: \(10 \, \text{см}\).

В равнобедренном треугольнике \(ABC\) основание \(AB = 5\) см, а боковые стороны \(AC = BC = 20\) см. Необходимо найти длину биссектрисы \(CD\), проведенной к боковой стороне \(AC\).

Пусть \(AD = x\), тогда \(DC = 20 — x\). По теореме о биссектрисе, отношение длин сторон треугольника, противолежащих равным углам, равно отношению длин отрезков, на которые биссектриса делит противолежащую сторону. Таким образом, \(\frac{AB}{BC} = \frac{AD}{DC}\), или \(\frac{5}{20} = \frac{x}{20 — x}\).

Решая это уравнение, получаем \(x = 4\), следовательно, \(AD = 4\) см и \(DC = 20 — 4 = 16\) см.

Рассмотрим теперь треугольник \(ADC\). Используя теорему Пифагора, можно найти длину биссектрисы \(CD\): \(CD = \sqrt{AC^2 — AD^2} = \sqrt{20^2 — 4^2} = \sqrt{400 — 16} = \sqrt{384} \approx 6\) см.

Таким образом, длина биссектрисы \(CD\) равна приблизительно \(6\) см.