ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 15.34 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В треугольнике \(ABC\) \(BC = 18 \, \text{см}\), \(AC = 15 \, \text{см}\), \(AB = 12 \, \text{см}\). Найдите биссектрису треугольника, проведённую к стороне \(BC\).

1. По теореме о пропорциональности отрезков биссектрисы: \(\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}\), где \(BD = x\), \(DC = 18 — x\).
2. Подставляем значения: \(\frac{12}{15} = \frac{x}{18 — x}\).
3. Решаем пропорцию: \(12(18 — x) = 15x \Rightarrow 216 — 12x = 15x \Rightarrow 27x = 216 \Rightarrow x = 8\).
4. \(BD = 8\), \(DC = 18 — 8 = 10\).
5. По формуле длины биссектрисы: \(l = \sqrt{ab \cdot \left(1 — \frac{c^2}{(a + b)^2}\right)}\), где \(a = 12\), \(b = 15\), \(c = 18\). Подставляем: \(l = \sqrt{12 \cdot 15 \cdot \left(1 — \frac{18^2}{(12 + 15)^2}\right)} = \sqrt{180 \cdot \left(1 — \frac{324}{729}\right)} = \sqrt{180 \cdot \frac{405}{729}} =\)
\(= \sqrt{180 \cdot \frac{5}{9}} = \sqrt{100} = 10\).

Ответ: \(10 \, \text{см}\).

1. Рассмотрим треугольник \(ABC\), где \(BC = 18 \, \text{см}\), \(AC = 15 \, \text{см}\), \(AB = 12 \, \text{см}\). Требуется найти длину биссектрисы, проведённой к стороне \(BC\). Согласно теореме о пропорциональности отрезков биссектрисы, она делит противоположную сторону \(BC\) на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам \(AB\) и \(AC\). Это даёт равенство:

\(\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}\).

2. Обозначим \(BD = x\), тогда \(DC = 18 — x\). Подставляем известные значения сторон \(AB = 12\) и \(AC = 15\) в пропорцию:

\(\frac{12}{15} = \frac{x}{18 — x}\).

Умножаем крест-накрест, чтобы избавиться от дробей:

\(12(18 — x) = 15x\).

3. Раскрываем скобки и упрощаем уравнение:

\(216 — 12x = 15x\).

Переносим все слагаемые с \(x\) в одну сторону, а числа — в другую:

\(216 = 27x\).

Делим обе части уравнения на \(27\), чтобы найти \(x\):

\(x = \frac{216}{27} = 8\).

Таким образом, \(BD = 8 \, \text{см}\), а \(DC = 18 — 8 = 10 \, \text{см}\).

4. Теперь используем формулу для нахождения длины биссектрисы треугольника, проведённой к стороне \(BC\):

\(l = \sqrt{ab \cdot \left(1 — \frac{c^2}{(a + b)^2}\right)}\),

где \(a = AB = 12\), \(b = AC = 15\), \(c = BC = 18\).

Сначала найдём сумму \(a + b\) и её квадрат:

\(a + b = 12 + 15 = 27\),

\((a + b)^2 = 27^2 = 729\).

Также найдём квадрат стороны \(c\):

\(c^2 = 18^2 = 324\).

5. Подставляем все значения в формулу для длины биссектрисы:

\(l = \sqrt{12 \cdot 15 \cdot \left(1 — \frac{324}{729}\right)}\).

Вычисляем выражение в скобках:

\(\frac{324}{729} = \frac{4}{9}\),

\(1 — \frac{4}{9} = \frac{5}{9}\).

Теперь подставляем это значение:

\(l = \sqrt{12 \cdot 15 \cdot \frac{5}{9}}\).

Упрощаем произведение:

\(12 \cdot 15 = 180\),

\(180 \cdot \frac{5}{9} = \frac{900}{9} = 100\).

Берём квадратный корень:

\(l = \sqrt{100} = 10\).

Ответ: \(10 \, \text{см}\).