ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 15.35 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В треугольник \(ABC\) вписан квадрат так, что две его соседние вершины принадлежат стороне \(AC\), а две другие — сторонам \(AB\) и \(BC\) соответственно. Найдите сторону квадрата, если \(AC = a\), а высота, проведённая к стороне \(AC\), равна \(h\).

Пусть сторона квадрата равна \( x \). Тогда, в прямоугольном треугольнике \(\triangle BVC\), \(\angle BVC = 90^\circ\), и стороны \( BV = x \) и \( VC = x \), а гипотенуза \( BC = a — x \). Площадь треугольника \( \triangle ABC \) равна \( \frac{1}{2} \cdot a \cdot h \). Площадь также можно выразить через высоту \( h \) как \( \frac{1}{2} \cdot x \cdot (a — x) = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h \). Решая это уравнение, получаем \( x = \frac{a \cdot h}{a + h} \).

1. Обозначим сторону квадрата через \( x \). Тогда вершина \( P \) квадрата делит \( AC \) на отрезки \( AP = x \) и \( PC = a — x \).

2. В треугольнике \(\triangle BVC\), \(\angle BVC = 90^\circ\), и стороны \( BV = x \) и \( VC = x \), а гипотенуза \( BC = a — x \). Из теоремы Пифагора: \( BC^2 = BV^2 + VC^2 \), получаем \( (a — x)^2 = x^2 + x^2 \).

3. Площадь треугольника \( \triangle ABC \) можно выразить двумя способами:
— Через основание \( AC \) и высоту \( h \): \( \frac{1}{2} \cdot a \cdot h \).
— Через основание \( BC \) и высоту \( x \): \( \frac{1}{2} \cdot (a — x) \cdot x \).

4. Приравняем площади:
\(\frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot (a — x) \cdot x\).

5. Решаем уравнение:
\( a \cdot h = (a — x) \cdot x \),
\( a \cdot h = a \cdot x — x^2 \),
\( x^2 — a \cdot x + a \cdot h = 0 \).

6. Решаем квадратное уравнение:
\( x = \frac{a \pm \sqrt{a^2 — 4 \cdot a \cdot h}}{2} \).

7. Поскольку \( x \) должно быть положительным и меньше \( a \), выбираем:
\( x = \frac{a \cdot h}{a + h} \).