ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 15.36 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
В треугольнике \(ABC\) \(BC = 72 \, \text{см}\), \(AD\) — высота, \(AD = 24 \, \text{см}\). В данный треугольник вписан прямоугольник \(MNKP\) так, что вершины Ми Р принадлежат стороне ВС, а вершины № и К сторонам АВ и АС соответственно. Найдите стороны прямоугольника, если МР: MN = 9: 5.
В треугольнике \( \triangle ABC \), высота \( AD = 24 \, \text{см} \), основание \( BC = 72 \, \text{см} \). Прямоугольник \( MNKP \) вписан так, что \( MP : MN = 9 : 5 \). Используем подобие треугольников \( \triangle APC \sim \triangle KPC \). Пусть \( MP = 9x \), \( MN = 5x \). Тогда \( BC = MP + MN = 72 \), \( 9x + 5x = 72 \), \( x = 6 \). Следовательно, \( MP = 9x = 54 \, \text{см} \), \( MN = 5x = 30 \, \text{см} \).
1. Рассмотрим треугольник \( \triangle ABC \) с высотой \( AD = 24 \, \text{см} \) и основанием \( BC = 72 \, \text{см} \). Прямоугольник \( MNKP \) вписан в треугольник так, что вершины \( M \) и \( P \) принадлежат стороне \( BC \), а вершины \( N \) и \( K \) лежат на сторонах \( AB \) и \( AC \) соответственно.
2. Согласно условию, \( MP : MN = 9 : 5 \). Пусть \( MP = 9x \), \( MN = 5x \). Тогда длина стороны \( BC \), на которой лежат вершины \( M \) и \( P \), равна сумме \( MP + MN \), то есть:
\( BC = MP + MN \),
\( 72 = 9x + 5x \),
\( 14x = 72 \),
\( x = 6 \).
3. Находим длины сторон прямоугольника:
\( MP = 9x = 9 \cdot 6 = 54 \, \text{см} \),
\( MN = 5x = 5 \cdot 6 = 30 \, \text{см} \).
4. Используем свойства подобия треугольников \( \triangle APC \sim \triangle KPC \). Прямоугольник делит высоту \( AD \) на две части, пропорциональные \( MP \) и \( MN \). Так как \( MP : MN = 9 : 5 \), высота \( AD = 24 \, \text{см} \) делится на части:
\( AD_{1} = \frac{9}{9+5} \cdot 24 = \frac{9}{14} \cdot 24 \approx 15.43 \, \text{см} \),
\( AD_{2} = \frac{5}{9+5} \cdot 24 = \frac{5}{14} \cdot 24 \approx 8.57 \, \text{см} \).
5. Таким образом, стороны прямоугольника равны:
\( MP = 54 \, \text{см} \),
\( MN = 30 \, \text{см} \).
