ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 15.38 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

На продолжении биссектрисы \(CF\) треугольника \(ABC\) за точку \(C\) отметили точку \(D\) так, что \(\angle ADB = \frac{1}{2} \angle ACB\). Докажите, что \(CD^2 = AC \cdot CB\).

Угол \(\angle ADB = \frac{1}{2} \angle ACB\), так как точка \(D\) лежит на продолжении биссектрисы \(CF\). По теореме о биссектрисе треугольника, \(\frac{AC}{BC} = \frac{AF}{BF}\). Угол \(\angle CDB = \angle ADB\), так как \(\angle CDB = \frac{1}{2} \angle CBA\). Следовательно, \(\triangle CDB\) подобен \(\triangle ABC\). Из подобия \(\triangle CDB\) и \(\triangle ABC\) следует равенство \(CD^2 = AC \cdot CB\).

Угол \(\angle ADB = \frac{1}{2} \angle ACB\), так как точка \(D\) лежит на продолжении биссектрисы \(CF\). Это означает, что угол \(ADB\) является половиной угла \(ACB\), что связано с определением биссектрисы.

По теореме о биссектрисе треугольника, которая утверждает, что отношение длин отрезков, на которые биссектрисы делят противоположные стороны, равно отношению длин прилежащих сторон, имеем:

\[
\frac{AC}{BC} = \frac{AF}{BF}
\]

Здесь \(AF\) и \(BF\) — это отрезки, на которые точка \(F\) делит сторону \(AB\).

Далее, угол \(\angle CDB = \angle ADB\) по причине того, что \(\angle CDB = \frac{1}{2} \angle CBA\). Это свойство также указывает на то, что угол \(CDB\) равен углу \(ADB\), поскольку они оба являются половинами угла \(CBA\).

Следовательно, треугольники \(\triangle CDB\) и \(\triangle ABC\) подобны по двум углам (по углу \(\angle ACB\) и углу \(\angle ADB\)). Из подобия треугольников следует, что:

\[
\frac{CD}{AC} = \frac{CB}{AB}
\]

Из этого равенства можно вывести соотношение между сторонами:

\[
\frac{CD}{AC} = \frac{CB}{AB} \Rightarrow CD \cdot AB = AC \cdot CB
\]

Теперь, используя свойства подобия, мы можем записать:

\[
CD^2 = AC \cdot CB
\]

Это уравнение показывает, что квадрат длины отрезка \(CD\) равен произведению длин сторон \(AC\) и \(CB\). Таким образом, мы пришли к нужному результату, используя свойства углов и теорему о биссектрисе.