ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 15.40 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В окружность вписан треугольник, одна из сторон которого равна \(21 \, \text{см}\). Параллельно этой стороне через точку пересечения медиан проведена хорда. Отрезки хорды, расположенные вне треугольника, равны \(8 \, \text{см}\) и \(11 \, \text{см}\). Найдите неизвестные стороны треугольника.

Дано: \( ab = 21 \, \text{см} \), хорда \( cd = 30 \, \text{см} \), хорда \( ed = 33 \, \text{см} \), отрезки вне треугольника на \( ed \): \( 8 \, \text{см} \) и \( 11 \, \text{см} \).

1. Хорда \( cd \) делится точкой пересечения медиан в отношении \( 2:1 \). Пусть \( cm = 2x \), \( md = x \). Тогда:
\(
cd = cm + md = 2x + x = 3x.
\)
Подставляем \( cd = 30 \):
\(
3x = 30, \, x = 10.
\)
Находим \( cm \) и \( md \):
\(
cm = 2x = 20 \, \text{см}, \, md = x = 10 \, \text{см}.
\)

2. Для хорды \( ed = 33 \, \text{см} \), отрезки вне треугольника равны \( 8 \, \text{см} \) и \( 11 \, \text{см} \). Найдем внутренний отрезок \( mn \):
\(
mn = ed — (8 + 11) = 33 — 19 = 14 \, \text{см}.
\)

3. Сторона \( bd \) треугольника:
\(
bd = ab + 2 \cdot md = 21 + 2 \cdot 10 = 21 + 20 = 41 \, \text{см}.
\)

Ответ: \( cd = 30 \, \text{см} \), \( bd = 41 \, \text{см} \), \( ed = 33 \, \text{см} \).

В окружность вписан треугольник, одна из сторон которого равна \( ab = 21 \, \text{см} \). Через точку пересечения медиан проведена хорда, параллельная стороне \( ab \). Отрезки хорд, лежащие вне треугольника, равны \( 8 \, \text{см} \) и \( 11 \, \text{см} \). Требуется найти длины \( cd \), \( bd \) и \( ed \).

1. Согласно свойствам медиан треугольника, точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении \( 2:1 \), считая от вершины треугольника. Следовательно, хорда, проведенная через эту точку и параллельная стороне \( ab \), будет также делиться в отношении \( 2:1 \).

2. Пусть хорда \( cd \) делится точкой пересечения медиан на два отрезка: \( cm \) и \( md \), где \( cm = 2x \), а \( md = x \). Тогда общая длина хорды \( cd \) равна:
\(
cd = cm + md = 2x + x = 3x.
\)

3. По условию, хорда \( cd \) равна \( 30 \, \text{см} \). Подставляем значение:
\(
3x = 30.
\)
Решаем уравнение:
\(
x = \frac{30}{3} = 10.
\)

4. Найдем длины отрезков \( cm \) и \( md \):
\(
cm = 2x = 2 \cdot 10 = 20 \, \text{см},
\)
\(
md = x = 10 \, \text{см}.
\)

5. Таким образом, хорда \( cd \) делится на отрезки \( cm = 20 \, \text{см} \) и \( md = 10 \, \text{см} \).

6. Теперь рассмотрим хорду \( ed \), которая равна \( 33 \, \text{см} \). Пусть отрезки вне треугольника равны \( 8 \, \text{см} \) и \( 11 \, \text{см} \). Тогда оставшийся отрезок \( mn \), лежащий внутри треугольника, можно найти как разность:
\(
mn = ed — (8 + 11) = 33 — 19 = 14 \, \text{см}.
\)

7. Таким образом, хорда \( ed \) делится на три отрезка: \( em = 8 \, \text{см} \), \( mn = 14 \, \text{см} \), \( nd = 11 \, \text{см} \).

8. Теперь найдем сторону \( bd \) треугольника. Так как хорда \( cd \) параллельна стороне \( ab \), а точка пересечения медиан делит медианы в отношении \( 2:1 \), то:
\(
bd = ab + 2 \cdot md = 21 + 2 \cdot 10 = 21 + 20 = 41 \, \text{см}.
\)

9. Проверим результаты. Длины хорд и их отрезков соответствуют условиям задачи:
\(
cd = 30 \, \text{см}, \, ed = 33 \, \text{см}, \, bd = 41 \, \text{см}.
\)

Ответ: \( cd = 30 \, \text{см} \), \( bd = 41 \, \text{см} \), \( ed = 33 \, \text{см} \).