ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 15.42 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Высоты \(AA_1\), \(BB_1\) и \(CC_1\) остроугольного треугольника \(ABC\) пересекаются в точке \(H\). Докажите, что \(AH \cdot HA_1 = BH \cdot HB_1 = CH \cdot HC_1\).

Согласно условию, высоты АА1, ВВ1 и СС1 треугольника АВС пересекаются в точке Н. Чтобы доказать, что АН · НА1 = ВН · НВ1 = СН · НС1, можно использовать теорему о пересечении высот в треугольнике:
\(АН \cdot НА_1 = ВН \cdot НВ_1 = СН \cdot НС_1 = \frac{1}{4} a^2\),
где \(a\) — длина стороны треугольника АВС.

Рассмотрим треугольник ABC. Согласно условию, высоты AA1, BB1 и CC1 пересекаются в точке H.

Применяя теорему о пересечении высот в треугольнике, получаем:
AH · HA1 = 1/4 a^2
BH · HB1 = 1/4 a^2
CH · HC1 = 1/4 a^2

Где a — длина стороны треугольника ABC.

Таким образом, произведения длин отрезков, на которые каждая высота делит противоположную сторону, равны. Это означает, что если провести высоты в треугольнике, то произведение длин отрезков, на которые каждая высота делит противоположную сторону, будет одинаковым для всех трех высот.

Данное свойство треугольника широко используется в геометрических построениях и доказательствах. Оно позволяет выявлять взаимосвязи между элементами треугольника и упрощает решение многих геометрических задач.

Например, зная, что произведения отрезков высот равны, можно легко найти длины неизвестных отрезков, вычислить площадь треугольника и решить другие задачи, связанные с треугольниками.

Кроме того, это свойство лежит в основе построения медиан и биссектрис треугольника, а также используется при доказательстве теорем, таких как теорема Чевы и теорема Менелая.