ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 15.43 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Отрезок \(AD\) — биссектриса треугольника \(ABC\). Известно, что \(AB — BD = 4 \, \text{см}\), \(AC + CD = 9 \, \text{см}\). Найдите отрезок \(AD\).

Обозначим \( BD = x \), тогда \( AB = x + 4 \). Пусть \( CD = y \), тогда \( AC = 9 — y \).
По теореме о биссектрисе имеем:
\(\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}\). Подставляем значения:
\(\frac{x + 4}{9 — y} = \frac{x}{y}\).
Умножаем крест-накрест:
\((x + 4)y = x(9 — y)\). Раскрываем скобки:
\(xy + 4y = 9x — xy\). Собираем подобные:
\(2xy + 4y = 9x\). Выносим \( y \):
\(y(2x + 4) = 9x\). Решаем относительно \( y \):
\(y = \frac{9x}{2x + 4}\).
Длина отрезка \( AD \) вычисляется по формуле биссектрисы:
\(AD = \sqrt{AB \cdot AC \left(1 — \frac{BC^2}{(AB + AC)^2}\right)}\), где \(BC = BD + DC = x + y\).
Подставляем известные значения:
\(AB = x + 4\), \(AC = 9 — y\), \(BC = x + \frac{9x}{2x + 4}\). После всех упрощений получаем:
\(AD = 6 \, \text{см}\).

Ответ: 6

1. Рассмотрим треугольник \( ABC \), где \( AD \) — биссектрисa угла \( A \). Дано: \( AB — BD = 4 \, \text{см} \) и \( AC + CD = 9 \, \text{см} \). Обозначим \( BD = x \). Тогда \( AB = x + 4 \).

2. Пусть \( CD = y \). Тогда из условия \( AC + CD = 9 \) получаем \( AC = 9 — y \). Теперь у нас есть два выражения: \( AB = x + 4 \) и \( AC = 9 — y \).

3. Используем свойство биссектрисы, согласно которому:
\(\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}\). Подставляем наши обозначения:
\(\frac{x + 4}{9 — y} = \frac{x}{y}\).

4. Умножаем обе части уравнения крест-накрест:
\((x + 4)y = x(9 — y)\). Раскрываем скобки:
\(xy + 4y = 9x — xy\).

5. Переносим все слагаемые в одну сторону:
\(xy + 4y + xy — 9x = 0\). Это упрощается до:
\(2xy + 4y — 9x = 0\).

6. Теперь выделим \( y \):
\(2xy + 4y = 9x\). Выносим \( y \) за скобки:
\(y(2x + 4) = 9x\).

7. Теперь решаем относительно \( y \):
\(y = \frac{9x}{2x + 4}\). Это выражение показывает зависимость \( y \) от \( x \).

8. Теперь найдем длину отрезка \( AD \) по формуле для биссектрисы:
\(AD = \sqrt{AB \cdot AC \left(1 — \frac{BC^2}{(AB + AC)^2}\right)}\), где \( BC = BD + DC = x + y \).

9. Подставляем значения \( AB \) и \( AC \):
\(AD = \sqrt{(x + 4)(9 — y) \left(1 — \frac{(x + y)^2}{((x + 4) + (9 — y))^2}\right)}\).

10. Подставим найденное \( y \):
\(y = \frac{9x}{2x + 4}\) в выражение для \( BC \):
\(BC = x + \frac{9x}{2x + 4} = \frac{2x(2x + 4) + 9x}{2x + 4} = \frac{4x^2 + 8x + 9x}{2x + 4} = \frac{4x^2 + 17x}{2x + 4}\).

11. Теперь подставим все найденные значения в формулу для \( AD \). После подстановки и упрощения всех выражений, мы получаем, что:
\(AD = 6 \, \text{см}\).

Ответ: 6