ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 15.44 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В угол вписаны две окружности. Точки \(A\) и \(B\) — точки касания первой окружности со сторонами угла, точки \(A_1\) и \(B_1\) — точки касания второй окружности со сторонами угла (рис. 15.18). Отрезок \(AB\) пересекает эти окружности в точках \(C\) и \(C_1\). Докажите, что \(AC = B_1C_1\).

Согласно условию задачи, отрезок АВ, пересекающий две вписанные окружности, делит их точки касания С и С1 на равные части. Это означает, что AC = B1C.

1) Пусть окружность 1 касается сторон угла в точках А и В, а окружность 2 — в точках А1 и В1.
2) Отрезок АВ пересекает обе окружности в точках С и С1.
3) Согласно теореме о вписанных углах, углы АСВ и А1С1В1 равны, так как они опираются на одну и ту же дугу АА1.
4) Так как углы АСВ и А1С1В1 равны, то треугольники АСВ и А1С1В1 подобны.
5) Следовательно, AC/A1C = B1C/BC, откуда AC = B1C.