ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 15.47 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Дан выпуклый четырёхугольник \(ABCD\). Лучи \(AB\) и \(DC\) пересекаются в точке \(F\), а лучи \(BC\) и \(AD\) — в точке \(E\). Точки \(E\) и \(F\) равноудалены от прямой \(BD\). Докажите, что диагональ \(AC\) делит диагональ \(BD\) пополам.

Докажем, что диагональ AC делит диагональ BD пополам. Для этого достаточно показать, что точки E и F равноудалены от прямой BD. Так как лучи AB и DC пересекаются в точке F, а лучи BC и AD — в точке E, то треугольники ABF и DCF, а также треугольники BCE и ADE подобны. Следовательно, стороны этих треугольников пропорциональны, в том числе и стороны BF и DF, а также BE и DE. Таким образом, точки E и F равноудалены от прямой BD, и диагональ AC делит диагональ BD пополам.

1) Рассмотрим выпуклый четырёхугольник ABCD, в котором лучи AB и DC пересекаются в точке F, а лучи BC и AD — в точке E.
2) Согласно условию, точки E и F равноудалены от прямой BD.
3) Докажем это утверждение. Так как треугольники ABF и DCF подобны, то их стороны пропорциональны: \(AB/DC = BF/DF\). Аналогично, треугольники BCE и ADE подобны, и их стороны также пропорциональны: \(BC/AD = BE/DE\).
4) Из пропорциональности сторон следует, что \(BF = DF\) и \(BE = DE\), то есть точки E и F равноудалены от прямой BD.
5) Таким образом, диагональ AC делит диагональ BD пополам.
1. Рассмотрим трапецию ABCD, где M и N — середины оснований AB и CD соответственно.
2. Проведем диагонали AC и BD, которые пересекаются в точке O.
3. Согласно теореме о средней линии трапеции, отрезки MN и AC равны и параллельны.
4. Так как диагонали AC и BD пересекаются в точке O, то точка O является центром подобия треугольников AMB и CND.
5. Следовательно, середины оснований трапеции M и N, точка пересечения диагоналей O и точка пересечения боковых сторон лежат на одной прямой.