ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 15.49 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Около остроугольного треугольника \(ABC\) описана окружность с центром в точке \(O\). Через точки \(B\) и \(C\) перпендикулярно прямой \(AO\) проведены прямые, пересекающие прямые \(AC\) и \(AB\) в точках \(M\) и \(N\) соответственно. Докажите, что \(BC^2 = BM \cdot CN\).

Согласно доказательству, ВС^2 = ВМ · CN, так как точки В, С, М и N находятся на пересечении прямых, проведенных перпендикулярно к прямой АО.

1) Рассмотрим треугольник АВС, вписанный в окружность с центром в точке О.
2) Через точки В и С проведены прямые, перпендикулярные к прямой АО, пересекающие ее в точках М и N соответственно.
3) Согласно свойству перпендикуляров, проведенных из центра окружности к хорде, отрезки ВМ и СN равны.
4) Применим теорему Пифагора к треугольнику АВС:
\(ВС^2 = АВ^2 + АС^2\)
5) Так как ВМ = СN, то \(ВС^2 = ВМ \cdot СN\).