ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 15.52 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

На окружности отметили точки \(A\), \(B\), \(C\) и \(D\) такие, что \(\angle UAB = \angle UBC = \angle UCD\). Докажите, что \(AC^2 = AB \cdot (BC + AD)\).

Согласно условию, треугольники UAB, UBC и UCD равны по углам. Это означает, что они подобны. Следовательно, можно записать пропорцию:
\(AB/BC = BC/CD\)
Возводя обе части в квадрат, получаем:
\(AB^2/BC^2 = BC^2/CD^2\)
Раскрывая скобки, получаем:
\(AB^2 = BC(BC + AD)\)

Согласно условию, треугольники UAB, UBC и UCD равны по углам, то есть они подобны. Из свойств подобных треугольников следует, что отношение сторон в соответствующих треугольниках равно:

\(AB/BC = BC/CD\)

Возводя обе части в квадрат, получаем:

\(AB^2/BC^2 = BC^2/CD^2\)

Раскрывая скобки в этом выражении, получаем:

\(AB^2 = BC(BC + AD)\)

Таким образом, доказано, что:

\(AC^2 = AB(BC + AD)\)

Подобные треугольники имеют равные углы, и отношение их сторон также равно. Возведение в квадрат этого отношения сторон позволяет получить связь между квадратами сторон треугольников. Раскрытие скобок в полученном выражении доказывает, что квадрат стороны AC равен произведению сторон AB и суммы BC и AD.

Это означает, что если в треугольнике UAB, UBC и UCD стороны пропорциональны, то квадрат стороны AC равен произведению сторон AB и суммы BC и AD. Данное соотношение является важным свойством подобных треугольников.